整数的因式分解

Question

在回答另一个问题时，我偶然发现了一个问题：没有符号数学工具箱，我实际上是如何找到整数的所有因数的。

例如：

factor(60)

返回：

 2     2     3     5

---

unique(factor(60))

因此将返回所有素数因子，“1” 缺失。

 2     3     5

---

我正在寻找一个可以返回所有因子的函数（1 和 数字本身 并不重要，但它们会很好）

x = 60 的预期输出：

 1     2     3     4     5     6    10    12    15    20    30    60     

---

我想出了那个相当庞大的解决方案，除了它可能可以向量化之外，没有任何优雅的解决方案吗？

x = 60;

P = perms(factor(x));
[n,m] = size(P);
Q = zeros(n,m);
for ii = 1:n
    for jj = 1:m
        Q(ii,jj) = prod(P(ii,1:jj));
    end
end

factors = unique(Q(:))'

我还认为，对于某些大数字，此解决方案将失败，因为 perms 需要向量长度

Answer 1

你可以找到一个数n的所有因数，方法是将它除以一个包含整数1到n的向量，然后找到除以1后的余数正好为零（即整数结果）：

>> n = 60;
>> find(rem(n./(1:n), 1) == 0)

ans =

     1     2     3     4     5     6    10    12    15    20    30    60

Answer 2

对@gnovice's answer的改进是跳过除法操作：单独rem就足够了：

n = 60;
find(rem(n, 1:n)==0)

Answer 3

以下是查找整数因数的六种不同实现的比较：

function [t,v] = testFactors()
    % integer to factor
    %{45, 60, 2059, 3135, 223092870, 3491888400};
    n = 2*2*2*2*3*3*3*5*5*7*11*13*17*19;

    % functions to compare
    fcns = {
        @() factors1(n);
        @() factors2(n);
        @() factors3(n);
        @() factors4(n);
        %@() factors5(n);
        @() factors6(n);
    };

    % timeit
    t = cellfun(@timeit, fcns);

    % check results
    v = cellfun(@feval, fcns, 'UniformOutput',false);
    assert(isequal(v{:}));
end

function f = factors1(n)
    % vectorized implementation of factors2()
    f = find(rem(n, 1:floor(sqrt(n))) == 0);
    f = unique([1, n, f, fix(n./f)]);
end

function f = factors2(n)
    % factors come in pairs, the smaller of which is no bigger than sqrt(n)
    f = [1, n];
    for k=2:floor(sqrt(n))
        if rem(n,k) == 0
            f(end+1) = k;
            f(end+1) = fix(n/k);
        end
    end
    f = unique(f);
end

function f = factors3(n)
    % Get prime factors, and compute products of all possible subsets of size>1
    pf = factor(n);
    f = arrayfun(@(k) prod(nchoosek(pf,k),2), 2:numel(pf), ...
        'UniformOutput',false);
    f = unique([1; pf(:); vertcat(f{:})])'; %'
end

function f = factors4(n)
    % http://rosettacode.org/wiki/Factors_of_an_integer#MATLAB_.2F_Octave
    pf = factor(n);                    % prime decomposition
    K = dec2bin(0:2^length(pf)-1)-'0'; % all possible permutations
    f = ones(1,2^length(pf));
    for k=1:size(K)
      f(k) = prod(pf(~K(k,:)));        % compute products 
    end; 
    f = unique(f);                     % eliminate duplicates
end

function f = factors5(n)
    % @LuisMendo: brute-force implementation
    f = find(rem(n, 1:n) == 0);
end

function f = factors6(n)
    % Symbolic Math Toolbox
    f = double(evalin(symengine, sprintf('numlib::divisors(%d)',n)));
end

结果：

>> [t,v] = testFactors();
>> t
t =
    0.0019        % factors1()
    0.0055        % factors2()
    0.0102        % factors3()
    0.0756        % factors4()
    0.1314        % factors6()

>> numel(v{1})
ans =
        1920

虽然第一个矢量化版本最快，但基于循环的等效实现 (factors2) 也紧随其后，这要归功于自动 JIT 优化。

请注意，我必须禁用蛮力实现 (factors5())，因为它会引发内存不足错误（以双精度存储向量 1:3491888400 需要超过 26GB 的内存！）。这种方法显然不适用于大整数，无论​​是空间还是时间。

结论：使用以下矢量化实现：)

n = 3491888400;
f = find(rem(n, 1:floor(sqrt(n))) == 0);
f = unique([1, n, f, fix(n./f)]);