为什么 Eratosthenes 算法的时间复杂度没有参数 sqrt(n)？答案

【问题标题】：Why doesn't the time complexity of Sieve of Eratosthenes algorithm have the argument sqrt(n)?为什么 Eratosthenes 算法的时间复杂度没有参数 sqrt(n)？
【发布时间】：2017-05-21 19:24:57
【问题描述】：

我试图了解埃拉托色尼筛算法的时间复杂度。网上到处都说时间复杂度是O(nloglog(n))，但我不明白为什么。

这是一些伪代码

factors =  new int[n+1];
for i from 2 to n
    factors[i] = 1; //true

for i from 2 to sqrt(n)
    if(factors[i] == 1) //isPrime
    {
        for all multiples of i upto n
            factors[multiple] = 0 //notPrime
    } 

return all indices of factors that have a value of 1

我想我们都同意这个函数的时间复杂度取决于嵌套的 for 循环。现在对其进行分析。当 i = 2 时，内循环运行 n/2 次。当 i = 3 时，内循环运行 n/3 次。下一次内部循环执行是下一个素数，所以 n/5 次。整个循环将运行

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... 次

这是

n(1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...)

直到 n 的素数的倒数之和是 O(log(log(n))) 的一个元素。因此，总体复杂度为 O(nlog(log(n)))

但是，正如我们的伪代码中所写，外部 for 循环仅运行 root(n) 次。因此，我们只是将素数的倒数相加到 sqrt(n)。所以复杂度应该是O(nlog(log(sqrt(n)))) 而不是上面所说的。

我的分析有什么问题？

【问题讨论】：

标签： algorithm primes sieve-of-eratosthenes

【解决方案1】：

O(nlog(log(sqrt(n)))) 是 O(nlog(log(n)))，因为 log(sqrt(n)) = log(n)/2 .

【讨论】：