在线性时间内从一个顶点找到最轻的路径

Question

让G(V,E)，一个带有加权边的有向图（w:E -> R）和一个r 在V 中。众所周知，对于每个u 都有一条最轻的路径（按权重），这也是一条最短的路径（按边），从r 到u。描述一种算法来找到从r 到每个u 的最轻路径。

所以我想到的只是简单地从r 运行一个 BFS 算法，并进行简单的更改；当我们到达顶点v 时，我们对从它出来的所有边进行排序，并按边的顺序（从小到大）将顶点放入队列中。

这样我们得到了一张最短路径图（正如 BFS 应该做的那样），但我们也更喜欢两条最短路径中最轻的一条。

假设我的算法是正确的，问题是它不是最有效的算法，因为我们必须对总和为O(|E|lg |E|) 的所有边进行排序。

如何在线性时间内完成 (O(|V|+|E|)？

Answer 1

以下是来自Introduction To Algorithms 的 BFS 伪代码：

BFS(G,s)

    for each vertex u in V[G] - {s}
        do color[u] <-- white
            d[u] <-- infinity
            pi[u] <-- nil 
    color[s] <-- gray
    d[s] <-- 0
    pi[s] <-- nil
    Q <-- {s} 
    while Q != empty set
        do u <-- head[Q]
        for each v in Adj[u]
            do if color[v] = white
                then color[v] <-- gray
                    d[v] <-- d[u] + 1
                    pi[v] <-- u
                    EnQueue(Q,v) DeQueue(Q)
            color[u] <-- black 

您的问题表明

众所周知，对于每个 u，都有一条从 r 到 u 的最短路径（按权重），这也是一条最短路径（按边）。

请注意，根据定义，这是递归的。

因此，您可以进行如下修改：

1. 也添加到每个节点c[u]（u的成本），并将所有初始化为无穷大。另外，添加cp[u]，u 的“成本父级”。

2. 当遇到u邻接的节点v，且v不是黑色时，检查是否成本u + 边的成本低于 v 的当前成本。如果是这样，更新 v 的成本，并使其成本父 u。