如何在线性时间内找到树中最短的简单路径？

Question

这是 Vazirani 的算法书中的一个问题

这个问题的输入是一棵树 T，边上有整数权重。权重可能为负， 零或正数。给出一个线性时间算法来找到 T 中的最短简单路径。 path 是路径中边的权重之和。如果没有重复的顶点，则路径是简单的。笔记 路径的端点不受约束。

提示：这与在树中寻找最大独立集的问题非常相似。

如何在线性时间内解决这个问题？

这是我的算法，但我想知道它是否是线性时间，因为它与深度优先没有什么不同：

1. 遍历树（深度优先）
2. 保留索引（节点）
3. 添加值
4. 做 (1) 直到树的尽头
5. 比较总和并打印路径和总和

这个问题和topic类似，但是没有确定的答案。

Answer 1

这个问题几乎等同于minimum sum subsequence problem，并且可以通过动态规划以类似的方式解决。

我们将使用 DF 搜索计算以下数组：

dw1[i] = minimum sum achievable by only using node i and its descendants.
pw1[i] = predecessor of node i in the path found for dw1[i].
dw2[i] = second minimum sum achevable by only using node i and its descendants,
         a path that is edge-disjoint relative to the path found for dw1[i].

如果您能计算出这些，请将min(dw1[k], dw1[k] + dw2[k]) 放在所有k 上。这是因为您的路径将采用以下基本形状之一：

  k              k
  |     or     /   \
  |           /     \
  | 

所有这些都包含在我们收取的金额中。

计算 dw1

从根节点运行 DFS。在 DFS 中，跟踪当前节点及其父节点。在每个节点，假设它的子节点是d1, d2, ... dk。然后dw1[i] = min(min{dw1[d1] + cost[i, d1], dw1[d2] + cost[i, d2], ..., dw1[dk] + cost[i, dk]}, min{cost[i, dk]})。为叶节点设置dw1[i] = 0。不要忘记用所选的前任更新pw1[i]。

计算 dw2

从根节点运行 DFS。执行与 dw1 相同的操作，除了从节点 i 转到其子节点之一 k 时，仅在 pw1[i] != k 时更新 dw2[i]。但是，您为所有孩子递归地调用该函数。在伪代码中看起来像这样：

df(node, father)
    dw2[node] = inf
    for all children k of node
        df(k, node)

        if pw1[node] != k
            dw2[node] = min(dw2[node], dw1[k] + cost[node, k], cost[node, k])