从加权图中找到第二好的最小生成树的算法答案

【问题标题】：Algorithm to find the second best minimum spanning tree from a weighted graph从加权图中找到第二好的最小生成树的算法
【发布时间】：2017-09-14 18:14:01
【问题描述】：

我试图从加权无向图中找到跨越三个的第二好的最小值。我知道如何使用 Kruskal 算法计算 MST，我正在考虑以这种方式找到第二好的最小算法：

步骤：

对所有图边进行排序。
使用 Kruskal 计算 MST
从图中获取不在第一个MST中的最小权重边并添加到MST中（现在MST有循环了）
去除新形成的循环中的最大权重边缘

这应该是第二好的 MST 吧？

顺便说一句，我知道有一个主题指出了一种算法，该算法在每个 MST 边之间迭代并在未选择边的情况下在图上运行 Kruskal，我只是在问我的是否有效。

【问题讨论】：

说出你的MST=(a,b),(b,c),(c,d),(d,e) 权重w(a,b)=w(b,c)=1 和w(c,d)=w(d,e)=4。假设边(a,c) 和(c,e) 也存在权重w(a,c)=4 和w(c,e)=5。您的算法将添加(a,c) 并删除权重为1 的边之一，但正确的方法是添加(c,e) 并删除权重为4 的边之一。
是的，你是对的，谢谢！

标签： algorithm graph computer-science

【解决方案1】：

它不起作用。

在第 3 步之后，新添加的边可能会成为仅包含成本非常低的边的循环的一部分，因此在第 3 步和第 4 步之后，MST 的总成本会显着增加。

另一方面，该图可能包含另一条边，其成本与在步骤 3 中选择的边相似，当添加到 MST 中时，它将成为另一个循环的一部分，例如，包含成本相对较高的边。为第 3 步选择这条边，然后应用第 4 步将导致生成另一棵生成树，比所提出的算法生成的要好。

【讨论】：

哦，我现在明白了.. 是的，看来我必须检查第一个 mst 的所有边缘并选择找到的最小 mst

【解决方案2】：

不，你的算法不起作用。

  1        3
 /--\  2  /--\
.    .---.    .
 \--/     \--/
  4        5

MST 是 1,2,3 => 6。

次优是 1,2,5 => 8。

您的算法将返回 2,3,4 => 9。

（我假设您的第 4 步是返回不是您刚刚添加的最大重量边缘）

这里的关键是 1 和 4 (3) 之间的差异大于 3 和 5 (2) 之间的差异，因此将 3 替换为 5 比将 1 替换为 4 导致整体成本更低。

【讨论】：