证明找到最小生成树的新算法的最优性

Question

下面是找到最小生成树的算法：

MSTNew(G, w)
   Z ← empty array
   for each edge e in E, taken in random order do
       Z ← Z ∪ e
       if Z has a cycle c then
           let e be a maximum-weight edge on c
           Z ← Z − e
   return (Z)

这个算法总是返回最优的 MST 解吗？

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我会说是的。这有点像变相的 Kruskals 算法 - 有点。

作为图论的新手，除此之外我真的没有太多想法。有人有什么想法或建议吗？

Answer 1

是的，IMO 算法输出最小生成树。

非正式证明：

在每次迭代中，我们只删除循环中最昂贵的边。这样的边缘永远不能包含在 MST 中（通过交换参数）。因此，我们总是排除那些永远不能成为 MST 一部分的边。

此外，算法的输出始终是生成树，因为只有当新边产生循环时我们才会删除边。

但是，请注意，此算法效率极低，因为在每次迭代中，您不仅要检查循环（如在 Kruskal 中），还要搜索循环中的最大成本边。