添加二进制补码

Question

女士们，先生们，我已经成功地理解了无符号二进制数的加法等。但是，这个二的补码让我打败了。让我用一些例子来解释一下。

示例练习题，使用8位有符号整数存储系统执行每个算术，在二进制补码下：

  1111111
  01100001
+ 00111111
----------
  10100000    <== My Answer (idk if right / wrong), but i think right.

所以它不超过 8 位，但是我们改变了（正 + 正）= 负。那一定是溢出，因为标志在变化，对吧？ （我一直不明白 MSB 中的进位和执行 MSB 是什么）。

对我来说真正棘手的部分是以下等式：（负 + 负）实际上等于（负 - 正）。

       111111
      10111111
    + 10010101
    ----------
  1 | 01010100

所以我认为这应该是错误的，因为当我们丢弃溢出位（左侧字段中的 1）时，它会将 8 位表示变为正数，而它应该是负数。所以这会导致溢出，不是吗？

以下等式类似：

      1111
     10001110
   + 10110101
   ----------
 1 | 01000011

可以理解，如果我们使用 16 位等，那么这些不会溢出，因为符号没有改变，所以数学是正确的。但是因为当我们存储这些数字的 8 位表示时，我们会丢失 MSB，这会翻转符号。

但我注意到我的理论的一件事是，每当添加两个负数时，MSB 显然总是为 1，因此你总是会有一个进位，这意味着你总是会有一个溢出。

** 我认为更合乎逻辑的结论是，我忘记在添加第二个否定词之前将它们转换为肯定词或其他东西，或者类似的东西。但我已经尝试过 youtube 和各种在线研究。 TBH，我的教授在整个“沟通”方面都很糟糕。我会很感激社区可以提供的任何帮助，所以我可以克服这些问题并解决更难的材料 XD。

Answer 1

是的，你的数学是正确的。

两个恭维的优雅之处在于，加法“正常工作”，无需对符号位进行任何特殊考虑。这两个减法都下溢的原因是因为数字的数量级已经很大了。

让我们用十进制来做最后两个问题：

   (-65)
+ (-107)
--------
  (-172) which underflows to 84.

  (-114)
+  (-75)
--------
  (-189) which underflows to 67.

最小的有符号 8 位值是 -128，所以它们都下溢。

Answer 2

是的，如果您丢弃一个 1 进位位，则表示溢出。不用担心溢出。丢弃进位是正确的。

但是因为当我们存储这些数字的 8 位表示时，我们会丢失 MSB，这会翻转符号。

重要的是不要将丢弃 1 位视为翻转符号。首先，丢弃进位位与翻转符号位不同。您可以从否定结果中丢弃进位位，但最终仍会得到否定答案。例如：

    1111111  
    11111111   (-1)
  + 11111111   (-1)
    --------
1 | 11111110   (-2)

最后的 1 个进位位被丢弃，但答案的符号不翻转。

其次，即使您正在考虑翻转（而不是丢弃）符号位，也不能将其视为翻转符号。在符号幅度表示中，翻转符号位将翻转数字的符号。但是在一个和两个的补码中，否定不仅仅是翻转最左边的位。如果你只是翻转位，你会得到一个非常不同的数字。是的，它有相反的符号，但它不是同一个数字。

           Sign Mag.  |  One's Compl.  |  Two's Compl.
01111111 =    127     |      127       |       127
11111111 =   -127     |      -0        |       -1