NP-complete vs NP-hard（为什么它们不相等？）

Question

为什么 NP-hard 不等于 NP-complete？

我对所使用定义的非正式理解：

NP - 所有可以在多项式时间内验证的问题

NP-complete - 所有 NP 和 NP-hard 的问题

NP-hard - 至少和 NP 中最难的问题一样难

决策问题 - 针对输入提出问题并输出布尔值的问题

困惑：

P 与 NP 的解未知问题源于我们无法证明或反驳 NP 中的所有问题都可以在多项式时间内解决。感觉类似的问题来自 NP-complete 与 NP-hard。我们怎么知道 NP-hard 中的所有问题都不能在多项式时间内得到验证，从而导致 NP-hard=NP-complete？

这是我的推理路线

从在线研究来看，这种区别似乎与决策问题有关（我对这个概念完全陌生，但似乎很简单）。我认为这意味着 NP 中的问题具有互补的决策问题，即询问输入是否是问题的解决方案。假设问题是找到最佳解决方案。我相信补充决策问题是“给定的输入是最优解吗？”并且我相信如果这个决策问题在多项式时间内是可验证的，那么问题是 NP 完全的（或在 NP 中）。因此，这意味着不是 NP 完全问题的 NP 难题是那些没有决策问题的问题（我相信这永远不会正确，因为任何蛮力解决方案都可以回答这个问题）或者问题是 NP 难题而不是 NP - 如果存在无法在多项式时间内验证的决策问题，则完成。如果是后者，那么感觉就像我们在 P 与 NP 之间遇到了同样的问题。也就是说，我们如何确认 NP-hard 中的所有决策问题都没有多项式时间解？

抱歉，如果上述措辞很奇怪。我将尝试澄清我的问题中的任何混淆。

笔记

我对直观的解释和正式的解释都感兴趣（如果答案很复杂，则证明）。正式的解释当然可以是学术论文的链接。我不希望任何人将大量时间投入到可能超出我理解范围的过于复杂的证明上（我发现复杂性理论很快变得……复杂）。

如果它有助于解释，我已经完成了旅行推销员问题的工作，并且我目前正在为护士调度问题写一篇论文（我相信这些是 NP 难题）。

Answer 1

NP-Hard 包括所有问题，其解决方案可用于导出具有多项式开销的 NP 问题的解决方案。

这包括许多NP 中没有的问题。例如，停止问题（一个不可判定的问题）是 NP-Hard，因为 NP 中的任何问题都可以在多项式时间内简化为：

1. 将 NP 中的任何问题简化为 NP-Complete 问题 3-SAT 的一个实例
2. 在多项式时间内构造一个 TM，它检查所有分配并在找到令人满意的分配时停止。
3. 使用停止问题的解决方案来判断 TM 是否停止。
4. 如果停止，接受；否则，拒绝。