这个平衡 BST 的复杂性是什么？

Question

我在一次采访中被问到这个问题，我很想知道对此的正确解释是什么？

考虑以下高度平衡 BST，其中 Balance factor = Height of left subtree - Height of right subtree 和可接受的平衡因子为 0、1、-1、2 和 -2。 在这种高度平衡的 BST 中搜索元素需要多长时间？解释一下。

我说的是，即使在标准 Balance BST 定义中它的高度因子为 2 而不是 1，操作仍然应该是 logN 复杂度顺序，（其中 N 是数字树中元素的数量），因为当 N 很大时，如果高度因子为 2 或 1，则不会产生太大影响。

如果有人能告诉我这里的正确答案会有所帮助:)

Answer 1

我们可以用数学方法解决这个问题：

定义最坏情况

现在，在任何Binary Tree 中，searching 的时间复杂度为 O(h)，其中h 是Binary Tree 的高度。
现在，在最坏的情况下，我们希望找到最大高度。

如果是简单的Binary Search Tree，没有平衡因子 节点上的条件，这个最大高度可以是n 或n+1 （取决于 按照惯例，单节点树的高度是 1 还是 0） 其中n 是节点数。

因此，我们可以说given number of nodes, worst case is maximum height。

有趣的是，我们也可以说given height of a tree, the worst case is minimum nodes。即使对于这样的最小节点数，我们也可能必须遍历高度为h 的树，我们也必须这样做才能获得最大节点数。

因此，直觉应该很清楚Given Height of Tree, the worst case is minimum number of nodes.

将此概念应用于二叉搜索树

1. 让我们尝试构建高度为H 的二叉搜索树，使得树中的节点数最少。李>

在这里，我们将利用二叉树是递归数据这一事实 结构（二叉树可以用二叉树来定义）

1. 我们将使用符号 N_H 来表示高度为 H 的 二叉搜索树 中的最小节点数强>

2. 我们将创建一个根节点
   

3. 到根的Left（或Right），添加高度为H-1（利用递归属性）的子树。因此，整个树中的节点数最少，Left（或Right）子树中的节点数也应该是最少的。因此 N_H 是 N_H-1

4. 我们需要向右（或左）添加任何内容吗？
   没有。因为 BST 没有平衡因子的限制。因此，我们的树看起来像

5. 因此，要构造高度为H 的二叉搜索树，使得树中的节点数最少，我们可以取二叉搜索树高度为H-1，使得节点数为 最少，可以添加1个根节点。
   因此，我们可以将Recurrence Relation 形成为
   N_H = N_H-1 + 1
   基本条件为
   N₀=1

要创建高度为 0 的 BST，我们需要添加一个节点。在整个答案中，我们将使用此约定

1. 现在，这个Recurrence Relation 很容易通过替换来解决，因此
   N_H = H+1
   N_H > H

2. 现在，让n 为高度为 H 的 BST 中的节点数
   那么，
   n≥N_H
   n≥H
   H≤n
   所以， H=O(n)
   要么 O(H) = O(n)

因此，搜索的Worst Case Time Complexity将是O(n)

在 AVL 树上应用这个概念

我们可以在 AVL 树上应用类似的概念。在阅读解决方案的后面部分后，可以找到递归关系：

N_H = N_H-1 + N_H-2 + 1

基础条件：

N₀ = 1
N₁ = 2

并且，求解递归的不等式条件将是

N_H ≥ ((1+√5)/2)^H

然后，设n 为节点数。因此，

n≥N_H

在简化时，可以得出结论

H ≤ 1.44log₂(n)

在 GIVEN 树上应用这个概念

1. 让我们尝试构造高度为H 的Given Tree，使得树中的节点数最少。

2. 我们将使用符号 N_H 来表示高度为 H 的 Given Tree 中的最小节点数

3. 我们将创建一个根节点
   

4. 到根的Left（或Right），添加高度为H-1（利用递归属性）的子树。因此，整个树中的节点数最少，Left（或Right）子树中的节点数也应该是最少的。因此 N_H 是 N_H-1

5. 我们需要向右（或左）添加任何内容吗？
   是的！ 因为节点上有平衡因子的限制。
   我们需要在Right（或Left）上添加子树。 它的高度应该是多少？

   H?

   不，那么整棵树的高度将变为 H+1

   H-1?

   允许！因为 Root 的平衡因子将为 0

   H-2?

   允许！因为根的平衡因子将是 1

   H-3?

   允许！因为根的平衡因子将是 2

   H-4?

   不允许！因为 Root 的平衡因子将变为 3

   我们想要最少的节点数，所以在H-1、H-2 和H-3 中，我们将选择H-3。因此，整个树中的节点数最少，右（或左）子树中的节点数也应该是最少的。因此 N_H 是 也是 的函数 N_H-3

6. 因此，要构造高度为H 的给定树，使得树中的节点数最少，我们可以有 LEFT子树为 Given Tree 高度 H-1 使得 节点数 是 minimum 并且可以将 RIGHT 子树作为 Given Tree的高度H-3 使得其中的节点数也是最少，并且可以添加一个根节点。我们的树看起来像
   

   因此，我们可以将递归关系形成为

   N_H = N_H-1 + N_H-3 + 1
   基本条件为
   N₀=1
   N₁=2
   N₂=3

7. 现在，这个Recurrence Relation 很难解决。但是感谢this answer，我们可以得出结论
   N_H > (√2)^H

8. 现在，让n 为 Given Tree 中的节点数，然后，

   n≥N_H
   n ≥ (√2)^H
   对数_√2(n) ≥ H
   H ≤ log_√2(n)
   H≤2log₂(n)

因此，H=O(log(n))
或O(H) = O(log(n))

因此，在这个给定树中搜索的最坏情况时间复杂度将是O(log(n))

因此，数学证明！