在尽可能小的区域内拟合矩形答案

【问题标题】：fitting rectangles in the smallest possible area在尽可能小的区域内拟合矩形
【发布时间】：2011-07-19 06:30:38
【问题描述】：

IOI 95

四个矩形的六种基本布局

给出了四个矩形。找到最小的封闭（新）矩形，这四个可以不重叠地拟合。最小的矩形是指面积最小的矩形。

所有四个矩形的边都应该与封闭矩形的对应边平行。图 1 显示了将四个矩形组合在一起的六种方法。这六个是唯一可能的基本布局，因为任何其他布局都可以通过旋转或反射从基本布局获得。矩形在打包过程中可以旋转 90 度。

可能存在满足要求的几个不同的封闭矩形，它们都具有相同的面积。您必须生成所有此类封闭矩形。

输入格式
四行，每行包含两个以空格分隔的正整数，表示矩形两侧的长度。矩形的每条边至少为 1，最多为 50。

输出格式
输出文件比解决方案的数量多一行。第一行包含一个整数：包围矩形的最小面积。以下每一行都包含一个由两个数字 p 和 q 描述的解决方案，其中 p

这就是问题陈述。我发现我想针对所有这些基本布局尝试所有 24*16 位置（您可以将矩形旋转 90 度）并检查新区域，但是我不知道如何实现这一点。从一些伪代码到文章链接的任何内容都会有很大帮助。提前致谢。

【问题讨论】：

不是，事实上我还在上高中，他们现在正在那里教循环。
忽略了IOI的备注，抱歉。
尝试谷歌搜索“受限二维切割算法”。我不确定是否真的只有 24*16 组合。（尽管您的问题并不完全是通常固定库存的经典切割问题）
排列数：4！，旋转数：2^4
我不知道你可以在这里使用线性排列。例如。看看你的右图：如果右上方的块稍微小一点，你可以把它挤在另外两个之间的空隙里。也就是说，我认为线性顺序和二维排列之间没有 1:1 的映射关系。

标签： algorithm

【解决方案1】：

虽然谷歌确实提供了一些解决方案，但我想一些高级描述将使您能够自己解决这个问题。

您可以先将 6 种布局案例中的矩形命名为 1、2、3、4。然后，您应该能够为给定的矩形 1...4 实例计算每个布局的边界框（提示第一种情况：宽度 = 1...4 的宽度之和，高度 = 高度的最大值1...4)

然后，正如您所说，您可以尝试所有可能的组合，将四个给定的矩形命名为索引 1...4 加上每个这样的可能性尝试所有可能的旋转，并确定所有布局中所有此类可能性的最小值案例。

【讨论】：

【解决方案2】：

由于只有四个矩形，所有可能的布局的枚举应该可以工作。当然真的所有可能的布局都太多了，但是我们可以合并等价的布局。

让我们只考虑每个矩形不能左右移动的布局。这意味着它的上边界接触到某物，而它的左边界接触到某物。所有其他布局都可以转换为这样的子集，而不会使边界框变大。

当我们选择第一个矩形（四个中的一个）时，它只能接触边界框的左上边界和上边界，所以它的左上顶点只有一个可能的位置。

当我们选择第二个矩形（三个中的一个）时，它的上边框可以接触边界框的上边框或第一个矩形的下边框 - 2 个选项。类似地，它的左边框可能会触及边界框的左边框或第一个矩形的右边框 - 还有 2 个选项。这样我们就得到了 2x2=4 的左上顶点坐标选项。

第三个和第四个矩形以此类推。

当然，我们应该在每一步检查矩形之间没有相交（例如，如果它们都从边界框的左上角开始）。此外，我们有时会得到明显非最优的布局（例如，当第二个矩形的左上顶点与第一个矩形的右下顶点重合时），但这不会影响结果，如果解决方案不够快，可以将其删除.

【讨论】：

【解决方案3】：

基本上所有给定矩形的 24*16 组合都可以通过考虑反射和旋转，甚至矩形的排列，从上面显示的 6 个图中推导出来

【讨论】：