计算移动球与移动线/多边形（2D）碰撞的时间

Question

我有一个多边形，里面是一个移动的球。 如果球碰到边界，它应该会反弹回来。

我目前的“解决方案”： 我将多边形分成几行并计算球何时击中移动线

所有变量：

a = length of a
b = length of b
c = length of c
ax = x position of A
ay = y position of A
bx = x position of B
by = y position of B
cx = x position of C
cy = y position of C
vax = speed of A on the x-axis
vay = speed of A on the y-axis
vbx = speed of B on the x-axis
vby = speed of B on the y-axis
vcx = speed of C on the x-axis
vcy = speed of C on the y-axis
h = height (equals r, because it collides when h is r)
r = radius
t = time (one time unit equals 1 frame. not relevant)
axc = x positon of A at the collision
ayc = y positon of A at the collision
bxc = x positon of B at the collision
byc = y positon of B at the collision
cxc = x positon of C at the collision
cyc = y positon of C at the collision

1. 计算所有点的碰撞位置：

   axc:=ax+vax*t ayc:=ay+vay*t

   bxc:=bx+vbx*t byc:=by+vby*t

   cyc:=cy+vcy*t cxc:=cx+vcx*t

2. 计算所有顶点的长度

   a:=√((axc-cxc)^(2)+(ayc-cyc)^(2))

   b:=√((bxc-cxc)^(2)+(byc-cyc)^(2))

   c:=√((axc-bxc)^(2)+(ayc-byc)^(2))

3. 计算h

   h=((√(2*(a^(2)*b^(2)+b^(2)*a^(2)+c^(2)*a^(2))-(a^(4)+b^(4)+c^(4))))/(2*c))

4. 求解 t

   solve(h=((√(2*(a^(2)*b^(2)+b^(2)*a^(2)+c^(2)*a^(2))-(a^(4)+b^(4)+c^(4))))/(2*c)), t)

BUUUUUT：我的计算器 (Ti-Nspire CX CAS) 崩溃。而且 Microsoft 数学花费的时间太长（我现在正在计算...... 1 小时，但仍然没有......）

所以...帮助！

（不要质疑我的绘画技巧）

Answer 1

如果你的多边形是凸的并且所有速度一直保持不变，你可以使用我刚刚想出的这些技巧（所以可能有更好的方法）：

1) 将每一行替换为无限长的行，只需扩展即可。

只有当多边形是凸面时才能这样做。考虑下图：

红线是原始多边形，绿线是无限延伸。圆圈能在撞到红线之前撞到绿线吗？不。我们现在可以专注于击球无限长的线，这（至少对我来说）是更简单的任务。

2) 分别计算每条线的碰撞时间，然后选择最小值

如果我们想知道一个完美的圆形球是否以及何时击中一条线，我们可以很容易地解决一个点是否击中一条线，请考虑下图：

基本上，当圆的中心进入该线周围的区域时，圆会撞到一条线，该区域是距该线至多radius的所有点，其中radius是圆的半径。

所以我们可以继续，只需将圆替换为中心的一个点，然后将线移向新创建的点的半径。

3) 移动点碰到移动线时计算

如果这条线由两个运动点a和b定义，速度为va和vb，并且该点位于c，速度为vc，我们可以做点a 静止（不移动）和位置 (0,0)，通过将其他两点位置和速度替换为 b-a、vb-va 和 c-a、vc-va。

现在让我们将b 和c 的新坐标和速度命名为：[bx, by]、(vbx, vby) 和[cx, cy]、(vcx, vcy)。我们现在可以通过求解这个公式来计算出碰撞时间：

cx+t * vcx = s*bx + s*t*vbx
cy+t * vcy = s*by + s*t*vby

但是要小心：这会导致二次方程，并且您必须忽略可能的负解，这可能意味着该点正在远离直线或正在发生碰撞，所以在你开始做任何事情之前确保球没有碰撞。

另外（我希望这个不用说）在你替换t和s后，你不会得到最终的碰撞点，你需要撤消你所做的所有地役权（加@例如987654345@）

如果你需要它来处理非凸多边形，我有一个解决方法，所以写在 cmets 中。