2D 碰撞响应 - 旋转、移动的多边形撞到墙上

Question

当一个顶点与它发生碰撞时，我试图将一个同时具有速度和角速度的多边形从（不可移动的）墙上弹开。我可以检测到碰撞，并且我已经弄清楚了如何计算输入并知道我需要什么输出，但是无法找到或制定响应的实现。任何帮助将不胜感激。

function collisionResponse(
    c, // object center of mass position
    v, // velocity of object
    a, // the angular velocity of the object
    p, // point of contact with line
    n  // normalized normal of line
) {
    //  Make a vector from center mass to contact point
    cp = p - c;

    //  Total velocity at contact point (add angular effect)
    pv.x = v.x - cp.y * a;
    pv.y = v.y + cp.x * a;

    //  Reflect point of contact velocity off the line (wall)
    rv = reflect( pv, n );

    // ..magic happens.. ??

    result.v = ?? // resulting object velocity
    result.a = ?? // resulting object angular velocity
    return result;
}

Answer 1

虽然并非完全微不足道，但计算可以简化为高中水平的数学。我会走大部分（但不是全部）的路：我留给你写下和求解的最后一个二次方程。 There is no LateX on SO，所以请耐心等待。

答案取决于几个附加参数：(1) 物体 M 的质量，(2) 物体的 moment of inertia，表示为 I，(3) 一个 elasticity coefficient for the collision，比如 alpha - 意思是，如何碰撞中动能守恒：0 表示完全失去能量（塑性碰撞），1 表示完全保留动能（完全弹性碰撞）。

根据牛顿力学规则，墙沿 rv（在您的符号中）在物体上运行一些未知的 impulse J（本质上是 F dt），导致直线和角动量的变化：

J x cp = I * diff(a)（这是一个叉积，更多内容见下文）

J = M * diff(v)

假设初始速度是 Vi，最后一个 Vf，类似地，初始角速度 Ai 和最终 Af。所以：

Vf = Vi + J/m

Af = Ai + (J x cp) / I

初始动能和最终动能分别为：

Ei = 0.5 * M * Vi^2 + 0.5 * I * Ai^2 Ef = 0.5 * M * Vf^2 + 0.5 * I * Af^2

让 Vf 和 A​​f 进入：

= 0.5*M*(Vi + J/m)^2 + 0.5*I*(Ai + (J x cp) / I)^2

现在我们要求最终动能是初始动能的 α 倍（这是碰撞弹性的定义）。如果您将这两个表达式等同起来，您将在 J 中得到一个二次方程 - 记下解决方案，您将获得所需的 Vf 和 A​​f。

关于叉积的注意事项：在 2D 中，乘积 J x cp 可以化简为获得为 J*cp*sin(theta) 的标量，其中 theta 是 cp 和 rv 之间的角度。

Theta 已签名，必须注意其符号！简而言之，如果你的 a（角动量）对于逆时针旋转是正的 - 那么 J 和 cp 之间的角度 theta 应该是从 J 到 cp 的逆时针角度。例如+45 当 cp 从 J 逆时针旋转 45 度时。（当然是弧度）

这是我在 SO 的降价中能做的最好的事情。如果需要更多说明，请随时询问。

[编辑：] (1) 我将 -cp 修复为 cp。这个乘法顺序（Jxcp）已经翻转了符号，不需要额外翻转。

(2) 这是一个没有 LateX 的图形尝试：

(3) 只有在假设质量密度均匀时，m 和 I 才通过常数乘法系数相关。如果您确实假设您可以删除其中一个输入 - 但它们通常保留为两个，因为它们形成了一种更直接的描述对象的方式。

(4) 澄清：moment of inertiaI 不是从方程中推导出来的变量，它是问题的一个参数。就像质量 M——本质上是加速物体的难度——它描述了旋转物体的难度。详细（不复杂）的积分计算在 wikipedia 链接上，对于简单的对象 - 球、圆柱体、立方体 - 您可以轻松地在线找到预设结果。