样条曲面插值

Question

假设我有 n 个点在 z 轴上定义一个曲面

f(x1,y1) = 10
f(x2,y2) = 12
f(x3,y3) = 5
f(x4,y4) = 2
...
f(xn,yn) = 21

现在我希望能够近似 f(x,y)。我正在寻找一种线性算法，尤其是样条近似算法。一个示例算法或至少一些指针会很棒。

Answer 1

您可以将您的点用作 Bezier（或 Bspline）曲面的控制点，尤其是当 (xi, yi) 在 XY 平面中采样一个矩形时。在这方面，不涉及任何拟合。

您将获得的表面将位于您的点的凸包中，并将与{xi, yi} 边界处的点相交（插值）。

如果你想尝试一下，This forums posting 似乎在Matlab 中包含简单的代码，如果你没有Matlab，你可以使用GuIRIT 来做同样的事情（尽管它需要弄清楚程序的文件格式）。

Answer 2

这是对进行线性近似的方法的模糊描述。

1. 确定您的点的Voronoi diagram（对于平面中的每个点，找到最近的(x_i,y_i)）
2. 取这个的对偶得到Delaunay triangulation：如果有一条线段点连接(x_i,y_i)和(x_j,y_j)，那么(x_i,y_i)和(x_j,y_j)是等距的（并且比任何其他对更近） .
3. 在每个三角形上，找到通过三个顶点的平面。这是您需要的线性插值。

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以下实现了 Python 中的前两个步骤。你的规律性 网格可以让你加快速度（它也可能会弄乱三角测量）。

import itertools

""" Based on http://stackoverflow.com/a/1165943/2336725 """
def is_ccw(tri):
    return ( ( tri[1][0]-tri[0][0] )*( tri[1][1]+tri[0][1] )
            + ( tri[2][0]-tri[1][0] )*( tri[2][1]+tri[1][1] )
            + ( tri[0][0]-tri[2][0] )*( tri[0][1]+tri[2][1] ) ) < 0

def circumcircle_contains_point(triangle,point):
    import numpy as np
    matrix = np.array( [ [p[0],p[1],p[0]**2+p[1]**2,1] for p in triangle+point ] )
    return is_ccw(triangle) == ( np.linalg.det(matrix) > 0 )

triangulation = set()
"""
A triangle is in the Delaunay triangulation if and only if its circumscribing
circle contains no other point.  This implementation is O(n^4).  Faster methods
are at http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation
"""
for triangle in itertools.combinations(points,3):
    triangle_empty = True
    for point in points:
        if point in triangle:
            next
        if circumcircle_contains_point(triangle,point):
            triangle_empty = False
            break
    if triangle_empty:
        triangulation.add(triangle)

Answer 3

对不规则的 2D 数据进行插值并不容易。我知道没有真正的样条泛化到不规则 2D。

除了基于三角测量的方法之外，您还可以查看 Barnes (http://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_interpolation) 和反向距离加权 (http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_distance_weighting)，或者更普遍的 RBF (http://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_functions)。

如果您的点非常不均匀地分布（密集簇），则可能需要使函数的大小具有自适应性，或者采用近似而不是插值。