计算样条曲面上的点答案

【问题标题】：Compute a point on a spline surface计算样条曲面上的点
【发布时间】：2011-04-21 10:28:09
【问题描述】：

我正在研究一种在嵌入式系统上运行的控制算法。我的编程语言是 C，系统在内存和处理能力方面会受到非常严格的限制。

我在三维空间中有几个（大约 10 个）参考点。这些通常是静态的，但会偶尔更改。我想拟合一个样条曲面，使其通过所有这些点，然后有一个函数，对于给定的输入向量 (x, z) 返回距离 y 从平面 y = 0.

我认为这是一个需要分两部分解决的问题：1) 每当参考点发生变化时，都会计算一些新的系数，以及 2) 将系数插入到返回 y的函数中> 对于给定的 (x, z)。（只有 2 个需要“实时”发生。）

我在网上对此进行了一些研究，但我在数学方面遇到了困难，而且很多材料都是针对计算机图形学的。我什至不确定我需要什么类型的样条； NURBS 和 Catmull-Rom 似乎都是相关的。最后，关于我的样条线边缘的形状：由于我的输入向量来自有界的传感器读数，我并不真正关心样条线在该边界之外做什么。

我将非常感谢相关材料的一些帮助或指针，任何sn-ps的伪代码将不胜感激。

【问题讨论】：

在我自己的查询之后进行更多研究：Catmull-Rom 很好，因为它满足表面通过每个点的要求，并且计算上很轻。它的问题是控制点需要限制在 z=0 平面中的规则网格中，并且不能有任何间隙，这与控制点可以在任何地方的要求不一致，我不确定会有多少。我想知道是否有一种方法可以通过对我的控制点进行逆 Catmull-Rom 来合成控制网格？
你看过贝塞尔曲面吗？当您说“距平面的距离”时，您的意思是“距表面的距离”还是“距表面的高程”？这篇论文有帮助吗？ waset.org/journals/waset/v65/v65-45.pdf

【解决方案1】：

如果您可以在参考点发生变化时以某种方式生成Bézier triangles，即使在微控制器资源有限的情况下，这些三角形的光滑表面也很容易计算——它只需要重复加和除以二。

生成穿过所有点的贝塞尔三角形的一种方法是使用 Delaunay triangulation 在您的参考点上找到一堆覆盖您表面的三角形。然后使用这些三角形的角作为贝塞尔三角形的角，和任意选取控制点，使相邻三角形之间的边缘“平滑”（而不是“折痕”）。

选择这些控制点的一种可能方法：

对于每个三角形角点（即每个原始参考点）：

找出所有三角形边的一端在那个角点
找到所有与该角点“连接”的点（在这些边的另一端）
拟合一个穿过该角点的平面，最小均方“靠近”连接点
对于每条边，从给定的角点向连接的角点选择一个 1/4（或 1/3 或 1/10 或其他任何值）的点。在找到飞机上离该点最近的点后忘记该点。将结果点用作与该边缘接壤的两个三角形中的控制点之一。

这给出了每个贝塞尔三角形的除一个控制点之外的所有控制点。对于贝塞尔三角形的剩余中心控制点，使用角点的几何平均值（质心）可能最简单。

【讨论】：