计算多面体体积的通用公式

Question

给定一个顶点列表 (v)，以及连接顶点的边列表 (e)，以及连接边的曲面列表 (s)，如何计算多面体？

Answer 1

与多边形类似，我们可以将其分成三角形并对面积求和，
您可以将多面体拆分为金字塔并将它们的体积相加。但我不确定为此实现算法有多难。

（我相信有一种数学方式/公式，例如使用向量和矩阵。
我建议您也将您的问题发布到http://mathoverflow.net)

Answer 2

首先，通过绘制新边将每个面分成三角形。

现在看一个三角形，假设它位于“上”表面（其中一些细节稍后会变得不重要）。查看三角形下方的体积，直至多面体下方的某个水平面。如果 {h1, h2, h3} 是三个点的高，A 是底面积，那么立体的体积将为 A(h1+h2+h3)/3。现在我们必须将 上 面的这些实体的体积相加，并为 下 面减去它们以获得多面体的体积。

玩一下代数，您会发现水平面上方的多面体高度无关紧要。平面可以在多面体之上，也可以穿过它，结果还是正确的。

所以我们需要的是 (1) 一种计算底面积的方法，以及 (2) 一种区分“上”面和“下”面的方法。如果你有点的笛卡尔坐标，第一个很容易，如果点是有序的，第二个很容易，你可以将它们组合起来，用一块石头杀死两只鸟。假设每个面都有一个角列表，按逆时针顺序排列。然后这些点在 x-y 平面上的投影将逆时针用于上表面，顺时针用于下表面。如果你用this method计算底面的面积，上面的面积是正的，下面的面积是负的，所以你可以把它们加在一起得到答案。

那么如何获得角的有序列表？从一个三角形开始，选择一个顺序，对于每条边，共享该边的邻居应该以相反的顺序列出这两个点。从一个邻居移动到另一个邻居，直到你有每个三角形的列表。如果多面体的体积为负，只需乘以 -1（这意味着您为第一个三角形选择了错误的顺序，并且多面体是由内向外的）。

编辑： 我忘记了最好的部分！如果您检查代数以将这些体积相加，您会发现很多项都被抵消了，尤其是在将三角形组合回原始面时。我还没有详细解决这个问题，但看起来最终结果可能是一个非常简单的函数。

Answer 3

我以前做过，但我使用的表面网格总是有三角形面。如果您的网格有非三角形刻面，您可以先轻松地将它们分解为三角形刻面。然后我把它喂给TetGen 以获得内部的四面体化。最后，我把四面体的所有体积加起来。 TetGen 相当容易使用，并且是除CGAL 之外唯一可以处理复杂网格的库。如果您不介意安装一个庞大的库并疯狂使用模板，那么 CGAL 非常易于使用。

Answer 4

1. 取多边形并将它们分成三角形。
2. 考虑由每个三角形和任意点（原点）形成的四面体。
3. 对这些四面体的有符号体积求和。

注意事项：

1. 仅当您可以从外部观察三角形时保持一致的 CW 或 CCW 顺序时，这才有效。
2. 四面体的有符号体积等于以下矩阵行列式的 1/6：

[ x1 x2 x3 x4 ]
[ y1 y2 y3 y4 ]
[ z1 z2 z3 z4 ]
[ 1 1 1 1 ]

其中列是顶点 (x,y,z,1) 的齐次坐标。

即使形状没有通过减去该体积以及添加它来包围原点，它也可以工作，但这取决于具有一致的顺序。

如果您不能保留顺序，您仍然可以找到某种方法将其分解为四面体，并将每个行列式的 1/6 绝对值相加。

编辑： 我想补充一点，对于四面体的一个顶点（例如 V4）为（0,0,0）的三角形网格，4x4 矩阵的行列式可以简化为左上角 3x3（沿 0,0 展开， 0,1 列），可以简化为 Vol = V1xV2.V3，其中“x”是叉积，“.”是点积。因此，计算每个三角形的表达式，将这些体积相加并除以 6。

Answer 5

这是 Python 中的一个潜在实现。 任何人都可以检查它是否正确？ 我相信我错过了点的排列，因为我的第二次测试（立方体）给出了 0.666 而不是 1。有想法吗？

干杯 艾尔

class Simplex(object):
    '''
    Simplex
    '''


    def __init__(self,coordinates):
        '''
        Constructor
        '''

        if not len(coordinates) == 4:
            raise RuntimeError('You must provide only 4 coordinates!')

        self.coordinates = coordinates



    def volume(self):
        '''
        volume: Return volume of simplex. Formula from http://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder
        '''
        import numpy

        vA = numpy.array(self.coordinates[1]) - numpy.array(self.coordinates[0])
        vB = numpy.array(self.coordinates[2]) - numpy.array(self.coordinates[0])
        vC = numpy.array(self.coordinates[3]) - numpy.array(self.coordinates[0])

        return numpy.abs(numpy.dot(numpy.cross(vA,vB),vC)) / 6.0  


class Polyeder(object):

    def __init__(self,coordinates):
        '''
        Constructor
        '''

        if len(coordinates) < 4:
            raise RuntimeError('You must provide at least 4 coordinates!')

        self.coordinates = coordinates


    def volume(self):

        pivotCoordinate = self.coordinates[0]

        volumeSum = 0

        for i in xrange(1,len(self.coordinates)-3):

            newCoordinates = [pivotCoordinate]

            for j in xrange(i,i+3):
                newCoordinates.append(self.coordinates[j])

            simplex = Simplex(newCoordinates)
            volumeSum += simplex.volume()

        return volumeSum


coords = []

coords.append([0,0,0])
coords.append([1,0,0])
coords.append([0,1,0])
coords.append([0,0,1])

s = Simplex(coords)
print s.volume()

coords.append([0,1,1])
coords.append([1,0,1])
coords.append([1,1,0])
coords.append([1,1,1])

p = Polyeder(coords)
print p.volume()