如何找到两个坐标系之间的旋转矩阵？答案

【问题标题】：How to find the rotation matrix between two coordinate systems?如何找到两个坐标系之间的旋转矩阵？
【发布时间】：2016-03-27 07:24:05
【问题描述】：

有两个坐标系。我们知道原点的 3D 坐标和第二坐标系的轴相对于第一坐标系的 3D 矢量。那么如何求出第一个坐标系到第二个坐标系的旋转矩阵呢？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

令 A 为定义两个坐标系之间关系的 4x4 矩阵。

那么两者的夹角为：

θ = arcos(trace(A)/2.0)

【讨论】：

【解决方案2】：

我写了一篇关于它的文章，用源代码演示了如何做到这一点。简短的回答是你用不同轴的点积构建一个 3x3 矩阵

【讨论】：

【解决方案3】：

我认为基础的改变可以帮助你Wiki Link。它很容易实现。

【讨论】：

【解决方案4】：

所描述的问题可以解决如下。让

M = m_11 m_12 m_13
    m_21 m_22 m_23
    m_31 m_32 m_33

表示所需的旋转矩阵。我们需要

 1 0 0 * M + t = x_x x_y x_z
 0 1 0           y_x y_y y_z
 0 0 1           z_x z_y z_y

其中t 表示翻译；我们看到，这个矩阵等式可以通过从左边乘以单位矩阵来解决，单位矩阵是它自己的逆矩阵；因此我们得到以下等式。

 M + t = x_x x_y x_z
         y_x y_y y_z
         z_x z_y z_y

这可以通过从两边减去t来重新排列，得到所需的矩阵M，如下所示。

 M = x_x x_y x_z - t = x_x-t_x x_y-t_y x_z-t_z 
     y_x y_y y_z       y_x-t_x y_y-t_y y_z-t_z
     z_x z_y z_y       z_x-t_x z_y-t_y z_z-t_z

请注意，这相对容易，因为初始矩阵由标准基的基本向量组成。一般来说，它比较困难，涉及basis transformation，基本上可以通过Gaussian elimination完成，但在数值上可能很难。

【讨论】：

请注意，对于旋转矩阵，应该从 M 的所有列中减去平移向量，因此 `R = x_x - x x_y - x x_z - x ...' 等等
我不熟悉使用的符号； t 是否表示涉及翻译？这是有道理的，但是最初的问题只需要轮换。
我认为是的，作者的 [R|t] 意味着旋转+平移（注意非零原点）。您的矩阵 M 对于纯旋转情况是正确的，对于 R+t 有必要使用相对坐标
是的，[R|t] 表示旋转和平移。我们是否需要从矩阵M中减去平移向量（t）。我认为三个轴的3D向量与原点之间没有关系。 (x_x, x_y, x_z) 是一个 3D 向量，仅表示 X 轴相对于坐标系 1 的方向。即使没有平移，该向量也将相同。
@Udaya 翻译必须单独处理，因为翻译不能用矩阵乘法表示（至少 nt 在相同的维度内）。出于这个原因，通常使用affine transformation（其中人为引入了一个额外的维度，稍后通过投影将其移除） - 因此，所有需要的转换（旋转、缩放和平移）都可以表示为矩阵乘法。