反转 4x4 矩阵 - 需要数值最稳定的解决方案答案

【问题标题】：Invert 4x4 matrix - Numerical most stable solution needed反转 4x4 矩阵 - 需要数值最稳定的解决方案
【发布时间】：2010-09-14 09:58:45
【问题描述】：

我想反转一个 4x4 矩阵。我的数字以定点格式存储（准确地说是 1.15.16）。

使用浮点运算，我通常只构建伴随矩阵并除以行列式（例如，蛮力解决方案）。到目前为止，这对我有用，但是在处理定点数时，由于使用了所有乘法，我得到了不可接受的精度损失。

注意：在定点算术中，我总是丢弃一些立即结果的最低有效位。

那么 - 反转矩阵的最稳定的数值方法是什么？我不太在意性能，但简单地使用浮点会减慢我的目标架构。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

元答案：它真的是一个通用的 4x4 矩阵吗？如果您的矩阵具有特殊形式，则有直接的求逆公式可以快速并让您的运算倒计时。

例如，如果它是图形的标准齐次坐标变换，例如：

[ux vx wx tx]
[uy vy wy ty]
[uz vz wz tz]
[ 0  0  0  1]

（假设由旋转、缩放、平移矩阵组成）

[ux uy uz -dot(u,t)]
[vx vy vz -dot(v,t)]
[wx wy wz -dot(w,t)]
[ 0  0  0     1    ]

（从链接页面窃取的 ASCII 矩阵。）

由于定点精度的损失，您可能无法击败它。

如果您的矩阵来自某个您知道它具有更多结构的领域，那么很可能会有一个简单的答案。

【讨论】：

【解决方案2】：

我认为这个问题的答案取决于矩阵的确切形式。带有旋转（基本）的标准分解方法（LU、QR、Cholesky 等）在固定点上相当不错，尤其是对于小型 4x4 矩阵。请参阅 Press 等人的《数字食谱》一书。有关这些方法的说明。

This paper 提供了一些有用的算法，但不幸的是在付费墙后面。他们建议使用（枢轴）Cholesky 分解，其中包含一些过于复杂而无法在此处列出的附加功能。

【讨论】：

【解决方案3】：

我想支持 Jason S 提出的问题：您确定需要反转矩阵吗？这几乎没有必要。不仅如此，这通常是一个坏主意。如果需要求解 Ax = b，直接求解系统比将 b 乘以 A 逆在数值上更稳定。

即使对于 b 的许多值，您必须一遍又一遍地求解 Ax = b，反转 A 仍然不是一个好主意。您可以分解 A（例如 LU 分解或 Cholesky 分解）并保存因子，这样您就不会每次都重做该工作，但您仍然可以每次使用分解来求解系统。

【讨论】：

【解决方案4】：

在执行正常算法之前，您可能会考虑加倍到 1.31。它会使乘法次数增加一倍，但是您正在执行矩阵求逆，并且您所做的任何事情都将与处理器中的乘法器密切相关。

对于有兴趣找到 4x4 倒数方程的任何人，您可以使用符号数学包来为您解决它们。 TI-89 甚至可以做到，尽管需要几分钟。

如果您告诉我们矩阵求逆对您有什么作用，以及它如何与您的其余处理相适应，我们或许可以提出替代方案。

-亚当

【讨论】：

【解决方案5】：

让我问一个不同的问题：您肯定需要反转矩阵（称为 M），还是需要使用矩阵求逆来求解其他方程？（例如 Mx = b 对于已知的 M，b）通常有其他方法可以做到这一点，而无需明确需要计算逆。或者，如果矩阵 M 是时间的函数并且它变化缓慢，那么您可以计算一次完整的逆矩阵，并且有迭代方法来更新它。

【讨论】：

【解决方案6】：

如果矩阵表示仿射变换（只要不引入缩放分量，4x4 矩阵就是这种情况很多时候），逆向只是上部 3x3 旋转部分的转置，最后一列取反。显然，如果您需要一个广义的解决方案，那么研究高斯消元法可能是最简单的。

【讨论】：