计算给定（x，y）坐标的多边形面积

Question

我有一组点，想知道是否有一个函数（为了方便和可能的速度）可以计算一组点所包围的面积。

例如：

x = np.arange(0,1,0.001)
y = np.sqrt(1-x**2)

points = zip(x,y)

给定points，面积应该大约等于(pi-2)/4。也许有来自 scipy、matplotlib、numpy、shapely 等的东西来做到这一点？我不会遇到 x 或 y 坐标的任何负值......它们将是没有任何定义函数的多边形。

编辑：

点很可能不会按任何指定的顺序（顺时针或逆时针）并且可能非常复杂，因为它们是一组边界下 shapefile 中的一组 utm 坐标

Answer 1

Shoelace formula 的实现可以在Numpy 中完成。假设这些顶点：

import numpy as np
x = np.arange(0,1,0.001)
y = np.sqrt(1-x**2)

我们可以重新定义numpy中的函数来查找区域：

def PolyArea(x,y):
    return 0.5*np.abs(np.dot(x,np.roll(y,1))-np.dot(y,np.roll(x,1)))

得到结果：

print PolyArea(x,y)
# 0.26353377782163534

避免 for 循环使这个函数比 PolygonArea 快约 50 倍：

%timeit PolyArea(x,y)
# 10000 loops, best of 3: 42 µs per loop
%timeit PolygonArea(zip(x,y))
# 100 loops, best of 3: 2.09 ms per loop.

计时在 Jupyter notebook 中完成。

Answer 2

涵盖所有可能情况的最优化解决方案是使用几何包，例如shapely、scikit-geometry 或pygeos。它们都在底层使用 C++ 几何包。第一个很容易通过 pip 安装：

pip install shapely

使用简单：

from shapely.geometry import Polygon
pgon = Polygon(zip(x, y)) # Assuming the OP's x,y coordinates

print(pgon.area)

---

要从头开始构建它或了解底层算法的工作原理，请查看shoelace formula：

# e.g. corners = [(2.0, 1.0), (4.0, 5.0), (7.0, 8.0)]
def Area(corners):
    n = len(corners) # of corners
    area = 0.0
    for i in range(n):
        j = (i + 1) % n
        area += corners[i][0] * corners[j][1]
        area -= corners[j][0] * corners[i][1]
    area = abs(area) / 2.0
    return area

因为这适用于简单的多边形：

• 如果你有一个带孔的多边形：计算外环的面积并子跟踪内环的面积

• 如果你有自相交环：你必须将它们分解成简单的扇区

Answer 3

通过分析 Mahdi 的回答，我得出结论，大部分时间都花在了 np.roll() 上。通过消除滚动的需要，并且仍然使用 numpy，与 Mahdi 的 41μs 相比，我将每个循环的执行时间降低到 4-5μs（相比之下，Mahdi 的函数在我的机器上平均花费了 37μs）。

def polygon_area(x,y):
    correction = x[-1] * y[0] - y[-1]* x[0]
    main_area = np.dot(x[:-1], y[1:]) - np.dot(y[:-1], x[1:])
    return 0.5*np.abs(main_area + correction)

通过计算修正项，然后对数组进行切片，无需滚动或创建新数组。

基准测试：

10000 iterations
PolyArea(x,y): 37.075µs per loop
polygon_area(x,y): 4.665µs per loop

使用time 模块和time.clock() 完成计时

Answer 4

maxb 的答案提供了良好的性能，但在坐标值或点数很大时很容易导致精度损失。这可以通过简单的坐标偏移来缓解：

def polygon_area(x,y):
    # coordinate shift
    x_ = x - x.mean()
    y_ = y - y.mean()
    # everything else is the same as maxb's code
    correction = x_[-1] * y_[0] - y_[-1]* x_[0]
    main_area = np.dot(x_[:-1], y_[1:]) - np.dot(y_[:-1], x_[1:])
    return 0.5*np.abs(main_area + correction)

例如，一个常见的地理参考系统是 UTM，它的 (x,y) 坐标可能是 (488685.984, 7133035.984)。这两个值的乘积是3485814708748.448。您可以看到这个单一的产品已经处于精度的边缘（它与输入的小数位数相同）。只添加这些产品中的几个，更不用说数千个，会导致精度损失。

缓解这种情况的一种简单方法是将多边形从大的正坐标移动到更接近 (0,0) 的位置，例如通过减去上面代码中的质心。这有两个方面的帮助：

1. 它从每个产品中消除了x.mean() * y.mean() 的因子
2. 它会在每个点积中产生正负值的混合，这将在很大程度上抵消。

坐标偏移不会改变总面积，它只是使计算在数值上更加稳定。

Answer 5

上面的代码有一个错误，因为它在每次迭代中都没有采用绝对值。上面的代码将始终返回零。 （在数学上，它是带符号面积或楔积与实际面积之间的差异 http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra.) 这是一些备用代码。

def area(vertices):
    n = len(vertices) # of corners
    a = 0.0
    for i in range(n):
        j = (i + 1) % n
        a += abs(vertices[i][0] * vertices[j][1]-vertices[j][0] * vertices[i][1])
    result = a / 2.0
    return result

Answer 6

这里有点晚了，但是您是否考虑过简单地使用sympy？

一个简单的代码是：

from sympy import Polygon
a = Polygon((0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)).area
print(a)

Answer 7

使用shapely.geometry.Polygon 比自己计算要快。

from shapely.geometry import Polygon
import numpy as np
def PolyArea(x,y):
    return 0.5*np.abs(np.dot(x,np.roll(y,1))-np.dot(y,np.roll(x,1)))
coords = np.random.rand(6, 2)
x, y = coords[:, 0], coords[:, 1]

有了这些代码，然后做%timeit：

%timeit PolyArea(x,y)
46.4 µs ± 2.24 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
%timeit Polygon(coords).area
20.2 µs ± 414 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

Answer 8

我将这里提供的每个解决方案都与 Shapely 的面积法结果进行了比较，它们具有正确的整数部分，但小数部分不同。只有@Trenton 的解决方案提供了正确的结果。

现在改进@Trenton 将坐标处理为元组列表的答案，我想出了以下内容：

import numpy as np

def polygon_area(coords):
    # get x and y in vectors
    x = [point[0] for point in coords]
    y = [point[1] for point in coords]
    # shift coordinates
    x_ = x - np.mean(x)
    y_ = y - np.mean(y)
    # calculate area
    correction = x_[-1] * y_[0] - y_[-1] * x_[0]
    main_area = np.dot(x_[:-1], y_[1:]) - np.dot(y_[:-1], x_[1:])
    return 0.5 * np.abs(main_area + correction)

#### Example output
coords = [(385495.19520441635, 6466826.196947694), (385496.1951836388, 6466826.196947694), (385496.1951836388, 6466825.196929455), (385495.19520441635, 6466825.196929455), (385495.19520441635, 6466826.196947694)]

Shapely's area method:  0.9999974610685296
@Trenton's area method: 0.9999974610685296

Answer 9

OpenCV 中的 cv2.contourArea() 提供了另一种方法。

示例：

points = np.array([[0,0],[10,0],[10,10],[0,10]])
area = cv2.contourArea(points)
print(area) # 100.0

参数（点，在上面的例子中）是一个 dtype int 的 numpy 数组，表示多边形的顶点：[[x1,y1],[x2,y2], ...]

Answer 10

对于正多边形，这要​​简单得多：

import math

def area_polygon(n, s):
    return 0.25 * n * s**2 / math.tan(math.pi/n)

因为公式是 ¼ n s2 / tan(π/n)。 给定边数 n 和每边的长度 s

Answer 11

基于

https://www.mathsisfun.com/geometry/area-irregular-polygons.html

def _area_(coords):
    t=0
    for count in range(len(coords)-1):
        y = coords[count+1][1] + coords[count][1]
        x = coords[count+1][0] - coords[count][0]
        z = y * x
        t += z
    return abs(t/2.0)

a=[(5.09,5.8), (1.68,4.9), (1.48,1.38), (4.76,0.1), (7.0,2.83), (5.09,5.8)]
print _area_(a)

诀窍是第一个坐标也应该是最后一个。