两个数组元素乘积的最小和答案

【问题标题】：Minimum sum of products of elements from two arrays两个数组元素乘积的最小和
【发布时间】：2020-08-11 17:21:57
【问题描述】：

我练习了一段时间的竞技编程，一个随机的问题突然出现在我的脑海中。我在在线网站上找不到解决方案，因此将其发布在这里。

给定两个数组A 和B，它们包含整数且大小相同n。我需要创建一个从A 的元素到B 的元素的一对一映射。假设配对元素是{(p1A,p1B),(p2A,p2B),.....,(pnA,pnB)}。我需要找到最小化p1A*p1B + p2A*p2B + .... + pnA*pnB 的映射。

我们如何解决这个问题？如果您能提供正确答案的证明，那将非常有帮助。

【问题讨论】：

我假设 (a) 元素不必按顺序配对，并且 (b) 每个元素必须只配对一次？换句话说，找到A 的排列/改组A' 使得sum(A'[i]*B[i] for all i) 最小？
没有尝试过，当然也没有证据，但我的直觉是将 A 中最大的与 B 中的最小配对，依此类推。
元素总是积极的/非消极的吗？
@tobias_k 是的，您需要找到 A 的排列/改组 A' 使得 sum(A'[i]*B[i] for all i) 最小？
@amit 这不是任何网站上的标准问题，所以我试图找到一个没有限制的解决方案，即。数字是整数（正数或负数）。但我想知道如果给出的数字是正数，是否存在简单的解决方案。

标签： arrays algorithm

【解决方案1】：

看起来@tobias_k 的 cmets 解决方案可行。

证明：不失一般性，A 被排序（A[i] <= A[i+1]），我们只能置换B。如果存在i 这样B[i] < B[i+1] 则通过交换这些元素，总和会改变

new_sum - old_sum = A[i]*B[i+1] + A[i+1]*B[i] - A[i]*B[i] - A[i+1]*B[i+1] 
                  = A[i](B[i+1] - B[i]) - A[i+1](B[i+1] - B[i]) 
                  = (A[i] - A[i+1])(B[i+1] - B[i])
                  <= 0

然后对于B 的任何起始排列，我们可以对B 进行冒泡排序，使其按降序排序，而总和不会增加。 QED。

所以，算法就是简单地将A升序排序，B降序排序得到映射。

【讨论】：

对我来说似乎是正确的。为了更容易理解，您可以添加第二行 = A[i](B[i+1] - B[i]) + A[i+1](B[i] - B[i+1] 和倒数第二行 = [neg] * [pos]