2个元素数组中的最大乘积

Question

给定一个正数数组，我需要找到表达式(j - i)*(b[j] + b[i]) 的最大值，其中 j 和 i 是数组索引。我尝试使用分而治之，但在合并步骤中，我找不到一个有效的算法来组合左右子数组的结果。数组长度的约束为 1,000,000（最大数组大小），时间为 1 秒。感谢您的帮助

Answer 1

让我们在这个问题上抛出两个指针：

left = 0, right = length of array - 1
do{
    max_product = max(max_product, (right-left)*(array[left]+array[right]))
    if array[left] < array[right]:
        left++
    else
        right--
} while (left < right)

时间复杂度：O(数组大小)，空间复杂度：O(1)

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正如 Abinav 指出的那样，左边最大的贪婪选择是行不通的。因此，以下解决方案将不起作用。

这是一个基于动态规划的问题。维护一个dp 数组。 dp[index] 表示max(array[0]...array[index-1]) 的索引。所以在每个index 你计算

result = max(result, (index - dp[index]) * (array[dp[index]]+array[index])).

时间复杂度：O（数组大小）， 空间复杂度：O(数组大小)

尝试是否可以将空间减少到 O(1) 作为练习。

Answer 2

按照 Shridhar 的逻辑，我认为这应该可行。

const arr = [1,3,5,2,3,6,89,2,13,45,67,7,8,9]

let left = 0 
let right = arr.length - 1 

let max = (left - right) * (arr[left] + arr[right])
right--
let ref = 0 
function algo(arr) {
        do {
                let sum = (left - right) * (arr[left] + arr[right])
                if (sum > max) max = sum 
                ref++
                if (ref % 2 === 0) right--
                else left++
                    
        } while(left < right)
            
        return max 
}

console.log(algo(arr))

Answer 3

扩展(j - i) * (b[j] + b[i])，我们得到：

j*b_j + j*b_i - i*b_j - i*b_i

我们可以重写为常数和向量点积，

j*b_j + (j, -b_j, -1) ⋅ (b_i, i, i*b_i)

然后——假设jth 之前的所有元素都已被看到——寻找：

j*b_j + max((j, -b_j, -1) ⋅ (b_i, i, i*b_i))
  where i < j

使用凸包和最远点查询可以在对数时间内实现向量点积的最大化，尽管实现并非易事。