如何蛮力算术难题？

Question

一位朋友分享了这个谜题：

如何将数字 1、5、6、7 变成 21？

您可以使用加法、减法、乘法和除法运算以及括号。每个数字必须使用一次。

两天后，我最终在纸上解决了这个问题。毫无疑问，计算机可以在一秒钟内暴力破解所有解决方案。

怎么办？我尝试生成所有字符串a.b.c.d，为字母插入数字，为点插入运算，但它错过了我的解决方案。

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奖励谜题：

• 如何将 1,5,6,7 变成 11？
• 如何将 1,5,6,7 变成 16？

Answer 1

一个明显的方法是：

1. 您从四个数字的向量S 开始：S = ( 1, 5, 6, 7 )
2. 从S中选择任意两个数字a和b，从S中删除它们
3. 对a 和b 应用任意算术运算，从而获得一个新数c（注意避免除以零并验证精确除法，如果问题需要）
4. 将c包含到S中，从而得到S'
5. 从步骤 1 继续，现在使用 S' 代替 S

在第 2 步（选择两个数字）和第 3 步（选择操作）执行蛮力分支。应重复该循环，直到 S 减少到仅 1 个元素，这是此特定蛮力分支的结果。

括号没有显式使用，但它们隐式存在。

如果一个分支在S 中以21 结尾，则您有一个解决方案，此时您可以终止或继续分支以搜索其他解决方案。

Answer 2

这是 AnT 建议的“pop two, combine, recurse”算法，用 Python 编码。最困难的部分是在递归之后组装表达式。我使用了查找和替换。

#!python
import operator
import itertools
from fractions import Fraction

operations = dict()
operations['+'] = operator.add
operations['-'] = operator.sub
operations['/'] = operator.truediv
operations['*'] = operator.mul

def solve(target, numbers):
    """List ways to make target from numbers."""
    numbers = [Fraction(x) for x in numbers]
    return solve_inner(target, numbers)

def solve_inner(target, numbers):
    if len(numbers) == 1:
        if numbers[0] == target:
            yield str(target)
        return

    # combine a pair of numbers with an operation, then recurse
    for a,b in itertools.permutations(numbers, 2):
        for symbol, operation in operations.items():
            try:
                product = operation(a,b)
            except ZeroDivisionError:
                continue

            subnumbers = list(numbers)
            subnumbers.remove(a)
            subnumbers.remove(b)
            subnumbers.append(product)

            for solution in solve_inner(target, subnumbers):
                # expand product (but only once)
                yield solution.replace(str(product), "({0}{1}{2})".format(a, symbol, b), 1)

if __name__ == "__main__":
    numbers = [1, 5, 6, 7]
    target = 21
    solutions = solve(target, numbers)
    for solution in solutions:
        print("{0}={1}".format(target, solution))

三个谜题的解法：

>>> solve(21,[1,5,6,7])
6/(1-(5/7))
>>> solve(11,[1,5,6,7])
(6*(7-5))-1
((7-5)*6)-1
>>> solve(16,[1,5,6,7])
[]

（第三个谜题是不可能的）