IOI 2003：如何计算树中余额最小的节点？

Question

这里是Balancing Act 问题，要求在树中找到具有最小余额的节点。余额定义为：

删除任何节点 从树中产生一个森林：一棵或多棵树的集合。将节点的 balance 定义为森林 T 中通过从 T 中删除该节点而创建的最大树的大小

对于示例树，例如：

2 6
1 2
1 4
4 5
3 7
3 1

解释是：

删除节点 4 会生成两棵树，其成员节点为 {5} 和 {1,2,3,6,7}。这 这两棵树中较大的有五个节点，因此节点 4 的余额为 5。删除节点 1 生成由三棵大小相等的树组成的森林：{2,6}、{3,7} 和 {4,5}。这些树中的每一棵 有两个节点，所以节点1的余额是两个。

你能为这个问题提供什么样的算法？

谢谢

Answer 1

我假设您已经仔细研究过这个问题：阅读解决方案无济于事，您只有通过自己解决这些问题才能更好地解决这些问题。

所以要观察的一件事是，输入是一棵树。这意味着每条边将 2 棵较小的树连接在一起。删除一条边会产生 2 棵不连贯的树（2 棵树的森林）。

所以，如果你在边的一侧计算树的大小，然后在另一侧，你应该能够查看节点的边并问“另一侧的树的大小是多少这个边缘？”

您可以使用动态编程计算树的大小 - 您的重复状态是“我在哪边？我在哪一边？”并计算在该节点“挂起”的树的大小。这就是问题的症结所在。

有了这些数据，遍历所有节点就足够了，查看它们的边缘并询问“该边缘另一侧的树的大小是多少？”从那里，您只需选择最小值。

希望对您有所帮助。

Answer 2

你基本上想为每个节点检查 3 件事：

1. 其左子树的大小。
2. 其右子树的大小。
3. 树的其余部分的大小。 （树的大小 - 左 - 右）

您可以使用此算法并将其扩展到任何类型的树（不同数量的子节点）。

在in-order sequence 中遍历树。

递归执行：

每次从节点备份到“父”节点之前，您需要将节点的总子树的 1+size 添加到“父”节点。
然后存储一个值，我们称之为 ma​​xTree，在它的所有子树之间拥有最大值的节点中，以及（所有子树的总和）-（树的大小）。

这样您可以计算所有子树的大小 O(N)。
在遍历树时，您可以保存一个变量来保存目前找到的最小值。