O(1) 设置位计数答案

【问题标题】：O(1) set bit countingO(1) 设置位计数
【发布时间】：2020-05-26 23:40:18
【问题描述】：

我正在查看这个设置位计数页面：https://www.geeksforgeeks.org/count-set-bits-in-an-integer/

最后一个算法用位映射数字说：它只是维护一个数字到位的映射（或数组）以用于半字节。一个半字节包含 4 个位。所以我们需要一个最多 15 个的数组。

int num_to_bits[16] = {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4};

现在我们只需要递归地获取给定的 long/int/word 等的半字节。

num_to_bits =[0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4];  

# Recursively get nibble of a given number  
# and map them in the array 
def countSetBitsRec(num): 
    nibble = 0; 
    if(0 == num): 
        return num_to_bits[0]; 

    # Find last nibble 
    nibble = num & 0xf; 

    # Use pre-stored values to find count 
    # in last nibble plus recursively add 
    # remaining nibbles. 

    return num_to_bits[nibble] + countSetBitsRec(num >> 4);  

num = 31
from timeit import default_timer as timer
t1 = timer()
print(countSetBitsRec(num))
t2 = timer()
print(t2-t1)
num = 421342356246244235625423523626342453143523624526434636546745745634523546346346346346344506546456909546540964596956306030963068359683578753068340634960340683463906835096835068309683486036830563596
t1 = timer()
print(countSetBitsRec(num))
t2 = timer()
print(t2-t1)

t1 = timer()
print(bin(num).count('1'))
t2 = timer()
print(t2-t1)

5
0.00013369599992074654
335
0.00015420899990203907
335
0.00011028399990209437

在时间复杂度部分，它表示时间和内存都是 O(1)。即使两个整数的时间都很接近，我也无法理解这是 O(1) 的情况，因为它正在进行递归调用？

【问题讨论】：

很抱歉，geeksforgeeks 是出了名的错误或不精确。这不会是第一次。在这种情况下，他们首先声称整数的长度是可变的（由于机器架构，这在实践中是不正确的）然后他们假设它的长度是一个常数来逃避 O(1)。在这个特定级别上，时间复杂度绝对无关紧要。在这个级别，您只关心有效性能，而不是理论复杂性。
是的，我现在明白了。我还认为 64 位整数只有 O(1)，但他们没有提到。这真的很混乱。谢谢。

标签： python-3.x bit-manipulation

【解决方案1】：

内存复杂度显示为O(1)，基于它使用固定数组的事实（但有很多递归调用，并且内存不会是 O(1)）。

时间复杂度不是O(1)，每次nibble = num & 0xf;这给出一个小于等于15的整数（0xf是15，&运算确保结果不大于@987654327 @)。然后它递归地将这些索引用于半字节。

我们可以计算两个数字的步数进行比较；如果运行时为O(1)，则步数应相同。

num_to_bits =[0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4];  

# Recursively get nibble of a given number  
# and map them in the array 

num_steps = 0
def countSetBitsRec(num): 
    global num_steps
    num_steps += 1
    nibble = 0; 
    if(0 == num): 
        return num_to_bits[0]; 

    # Find last nibble 
    nibble = num & 0xf; 

    # Use pre-stored values to find count 
    # in last nibble plus recursively add 
    # remaining nibbles. 

    return num_to_bits[nibble] + countSetBitsRec(num >> 4);  

num = 31
from timeit import default_timer as timer
t1 = timer()
print(countSetBitsRec(num))
print(f'num steps: {num_steps}')
t2 = timer()
print(t2-t1)
num = 421342356246244235625423523626342453143523624526434636546745745634523546346346346346344506546456909546540964596956306030963068359683578753068340634960340683463906835096835068309683486036830563596
global num_steps
num_steps = 0
t1 = timer()
print(countSetBitsRec(num))
print(f'num steps: {num_steps}')
t2 = timer()
print(t2-t1)

5
num steps: 3
0.00024106499995468766
335
num steps: 163
0.0012161659999492258

如您所见，步数直接取决于整数大小本身。对于大整数，数字与长度成正比，而不是O(1)。

【讨论】：