在 O(1) 中计算幂函数答案

【问题标题】：Computing the power function in O(1)在 O(1) 中计算幂函数
【发布时间】：2018-09-29 10:40:48
【问题描述】：

我写了一个函数来计算 O(logb) 中的 pow(a,b)。

double pow(double a, int b){
  double res=1;
    while(b>0){
        if (b%2==1){
            res=res*a;
        }
      b=b>>1;
      a=a*a;

    }
    return res;
}

我偶然发现了一个问题，是否可以在O(1) 时间编写函数 pow(double a, double b)。然而我还没有找到答案。

【问题讨论】：

如果可能的话，您不认为标准实现会使用这种方法吗？
假设 IEEE754，我们有 64 位的双精度，即。 e. 2^64 个值，两个参数，2^65 种组合。由于我们有一组有限的输入，我们总是是 O(1)...
要说明计算复杂性的意义，您需要定义您计算的基本操作是什么，以及根据什么变量。
正如 Aconcagua 所指出的，您有一组有限的输入。所以你可以使用一个（相当大的！）查找表。
您必须在double b和int b之间进行选择；这些是不同的问题。

标签： c++ algorithm math

【解决方案1】：

如果您不允许自己使用标准 pow/exp/log 函数或预计算表，但允许浮点乘法，那么您的解决方案是最佳的（恒定时间是不可能的）。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果您允许对参数（a 正数、a 和 b 双精度数）和结果（双精度数）进行一些限制，您可以使用

exp(b * log(a))

这通常并不准确，即使可以得出准确的结果。在我的 Borland Delphi 时代，我编写了一个类似的例程，但使用基数 2 而不是经常使用的基数 e。这提高了代码的准确性和速度，因为 CPU 以2 为基础工作。但我不知道如何在 C++ 中做到这一点。

【讨论】：

虽然不是 O(1)... 是吗？
@Ash：由于a 和b 是双精度的，所以exp 和log 函数（大部分）由CPU 处理并使用有限数量的CPU 周期，因此是第一个。您的代码的优点是它更经常返回准确的答案。
@Ash：我应该补充一点，您的代码还允许 a 为零或负数。
我不是 OP ;) 但我对你的解释持怀疑态度......你能否添加一些参考资料？也许我们可以接近O(1)，但从理论上讲，我认为上限是对数......
@Ash：你说得对，对于 任意精度，log 函数不是 O(1)……但这就是为什么我强调你的参数是双打。（我刚刚将其添加到我的主要答案中，从我之前的评论中复制。）对于有限的位数，log 和 exp 近似运算变为 O(1)。

【解决方案3】：

是的，您可以使用预计算编写一个。将所有可能的功率计算到一个表格中，并在必要时循环起来。这种方法确实适用于很多问题。

现在，假设您找到了一个除了查表之外的新算法，并且新算法的复杂度为 O(1)。现在是结果；

加法的复杂度是 O(1) x^b * x^c = x^(a+c)。计算并取对数以 b 为底，尤其是在以 2 为底的情况下。

因此，您可以使用新算法减少几乎所有算术运算。

正如 Yvies 所说，这是最佳选择。

【讨论】：