给定 3 个向量和角度，如何找到第四个向量，以便通过所有向量形成 2 个线段

Question

我有一个由两个向量组成的线段，比如说v1和v2，一个向量v3和一个角度a。如何在 Java 中编写方法（我也在使用 Apache Commons Math 来表示向量）这给了我一个向量 v4，因此线段 v1-v2 和 v3- v4 在角度 a? 有无限的 v4 元素，如果我可以给该方法一个大小，使线段 v3-v4 具有该大小，那就更好了。 （都是二维空间，角度可以是弧度也可以是度数，没关系）

编辑： 正如我所承诺的，我已经包含了我正在尝试解决的问题的图像。我有一个由 2 个向量定义的线段（线有点长，但没关系）、一个角度和第三个点。我需要绘制第二条线，它与第一条线以 a 角相交。由于 Javafx 中的所有线（我在这里使用）都是通过定义两个点来绘制的，所以我需要找到红点（或任何可能的红点）。

编辑：使用阿里的回答，我得到了以下方法，可以满足我的需要：

public Pair<Vector2D, Vector2D> calculateFourthPoint(Vector2D v1, Vector2D v2, Vector2D v3, double angleInDegrees) {
    Vector2D r = v1.subtract(v2);
    double rx = r.getX();
    double ry = r.getY();
    double angle = toRadians(angleInDegrees);

    double a = pow(rx, 2) + pow(ry, 2);
    double b = 2 * sqrt(pow(rx, 2) + pow(ry, 2)) * cos(angle) * rx;
    double c = pow(rx, 2) * pow(cos(angle), 2) + pow(ry, 2) * pow(cos(angle), 2) - pow(ry, 2);
    double discriminant = sqrt(pow(b, 2) - (4 * a * c));

    double sx1 = (-b + discriminant) / (2 * a);
    double sx2 = (-b - discriminant) / (2 * a);

    double sy1 = sqrt(1 - pow(sx1, 2));
    double sy2 = sqrt(1 - pow(sx2, 2));

    Vector2D s1 = new Vector2D(sx1, sy1);
    Vector2D s2 = new Vector2D(sx2, sy2);

    Vector2D v4_1 = v3.subtract(s1);
    Vector2D v4_2 = v3.subtract(s2);

    return new Pair<Vector2D, Vector2D>(v4_1, v4_2);
}

Answer 1

我不知道 Apache Commons Math，所以我用伪代码编写。让vx 和vy 分别表示向量v 的x 和y 分量。

让r=v1-v2 和s=v3-v4。你有 2 个未知数（即 sx 和 sy; 和 v4=v3-s）所以你需要 2 个方程。这些应该是：

dot_product(r,s)=length(r)*cos a // forces the desired angle

dot_product(s,s)=1 // just sets the length of s to 1

为了说明，上面的等式是：

(1)    rx*sx + ry*sy = sqrt(rx^2+ry^2)*cos a

(2)    sx^2 + sy^2 = 1

第一个方程在sx 和sy 中都是线性的。让我们从第一个等式中消除sy（假设ry 不为零）

 sy = (1/ry)*(sqrt(rx^2+ry^2)*cos a - rx*sx)

并将sy 代入第二个等式。你在sy 中得到一个二次方程（我不想在这里写，因为它很复杂），它有两个解。您可以通过将sy 值代入（假设rx 不为零）得到相应的sx：

 sx = (1/rx)*(sqrt(rx^2+ry^2)*cos a - ry*sy).

最后，v4=v3-s。 v4 有 2 个解，一个二次方程的每个解。 （我的回答中忽略了退化的情况，例如 r 是一个空向量。）

Answer 2

很遗憾我们不能在这里做 LaTeX 风格的方程式（或者 可以 我们？我不知道，从来没有在这里做过......），但这里是：

v1-v2 · v3-v4 = |v1-v2| * |v3-v4| * cos(a)   (by definition)

将|v3-v4|定义为单位向量，这样

v1-v2 · v3-v4 = |v1-v2|*1*cos(a) = |v1-v2|*cos(a)

从左手边往外推

v1·v4 + v2·v4 = |v1-v2|*cos(a) - v1·v3 + v2·v3

或

(v1+v2)·v4 = |v1-v2|*cos(a) - (v1-v2)·v3 

同时

|v3-v4| = (v3-v4)·(v3-v4) = 1    

所以，2 个未知数中有 2 个方程。现在，为简洁起见，

aa  = (v1+v2|x
bb  = (v1+v2|y
x1 = v4|x
x2 = v4|y
A  = |v1-v2|*cos(a) - (v1-v2)·v3 

其中|x 表示x-component 等。有了这个，微不足道的替换给了我们

( (A-aa*x1)/bb )^2 + (aa*x1)^2 = 1     (-> 2 solutions)
( (A-bb*x2)/aa )^2 + (bb*x2)^2 = 1     (-> another 2 solutions) 

解决方案有点杂乱，无法在此写下，但它们很简单quadratic equations，可以轻松解决。

然后您有 4 个唯一向量，它们位于 v3 周围的单位圆上（见图）。这 4 个向量仅导致 2 个不同的线，但找到所有 4 个向量仍然是一个好主意（作为自检，并提高稳健性 - 可能存在一些边缘情况，其中一个向量是这样的像灾难性取消发生）。

哪条线路最适合您，当然取决于您的用例。

无论您选择哪种解决方案，您当然应该始终验证是否

arccos(((v1-v2)·(v3-v4))/|v1-v2|) = a

应该如此。