将零对角线添加到MATLAB中的矩阵

Question

假设我在 MATLAB 中有一个维度为 Nx(N-1) 的矩阵 A，例如

N=5;
A=[1  2  3  4;
   5  6  7  8;
   9  10 11 12;
   13 14 15 16;
   17 18 19 20 ];

我想将A 转换为NxN 矩阵B，只需添加一个零对角线，即，

B=[ 0  1   2   3   4;
    5  0   6   7   8;
    9  10  0   11  12;
    13 14  15  0   16;
    17 18  19  20  0];

---

这段代码做我想做的事：

B_temp = zeros(N,N); 
B_temp(1,:) = [0 A(1,:)];
B_temp(N,:) = [A(N,:) 0];
for j=2:N-1
    B_temp(j,:)= [A(j,1:j-1) 0 A(j,j:end)];
end
B = B_temp; 

您能否提出一种有效的矢量化方法？

Answer 1

您可以使用矩阵的上下三角形部分（triu 和 tril）来执行此操作。

那就是 1 行解决方案：

B = [tril(A,-1) zeros(N, 1)] + [zeros(N,1) triu(A)];

---

编辑：基准测试

这是循环方法、Sardar's answer中的2种方法和我上面的方法的对比。

基准代码，使用timeit 进行计时并直接从问答中提取代码：

function benchie()
    N = 1e4; A = rand(N,N-1); % Initialise large matrix
    % Set up anonymous functions for input to timeit
    s1 = @() sardar1(A,N); s2 = @() sardar2(A,N); 
    w =  @() wolfie(A,N); u = @() user3285148(A,N);
    % timings
    timeit(s1), timeit(s2), timeit(w), timeit(u)
end
function sardar1(A, N) % using eye as an indexing matrix
    B=double(~eye(N)); B(find(B))=A.'; B=B.';
end
function sardar2(A,N) % similar to sardar1, but avoiding slow operations
    B=1-eye(N); B(logical(B))=A.'; B=B.';
end
function wolfie(A,N) % using triangular parts of the matrix
    B = [tril(A,-1) zeros(N, 1)] + [zeros(N,1) triu(A)];
end
function user3285148(A, N) % original looping method
    B = zeros(N,N); B(1,:) = [0 A(1,:)]; B(N,:) = [A(N,:) 0];
    for j=2:N-1; B(j,:)= [A(j,1:j-1) 0 A(j,j:end)]; end
end

结果：

• Sardar 方法 1：2.83 秒
• Sardar 方法 2：1.82 秒
• 我的方法：1.45 秒
• 循环方法：3.80 秒 (!)

结论：

• 您希望将其矢量化是有根据的，循环比其他方法慢得多。
• 避免对大型矩阵进行数据转换和find 很重要，Sardar 的方法之间可以节省约 35% 的处理时间。
• 通过避免同时编制索引，您可以进一步节省 20% 的处理时间。

Answer 2

生成一个矩阵，其中对角线处为 0，非对角线处为 1。用 A 的转置替换非对角元素（因为 MATLAB 是主要列）。再次转置以获得正确的顺序。

B = double(~eye(N));  %Converting to double since we want to replace with double entries
B(find(B)) = A.';     %Replacing the entries
B = B.';              %Transposing again to get the matrix in the correct order

编辑：

作为suggestedWolfie的相同算法，您可以摆脱对double的转换和find的使用：

B = 1-eye(N);
B(logical(B)) = A.'; 
B = B.';

Answer 3

如果你想在矩阵的对角线上插入任何向量，可以使用普通索引。以下 sn-p 为您提供所需对角线的索引，给定方阵 n 的大小（矩阵为 n by n），以及对角线的数量 k，其中 k=0对应于主对角线，正数k 对应上对角线，负数k 对应下对角线。 ixd 终于给你二维索引了。

function [idx] = diagidx(n,k)
% n size of square matrix
% k number of diagonal
if k==0 % identity
    idx = [(1:n).' (1:n).']; % [row col]
elseif k>0 % Upper diagonal
    idx = [(1:n-k).' (1+k:n).'];
elseif k<0 % lower diagonal
    idx = [(1+abs(k):n).' (1:n-abs(k)).'];
end
end

用法：

n=10;
k=3;
A = rand(n);
idx = diagidx(n,k);

A(idx) = 1:(n-k);