分析短算法的运行时间

Question

我得到了以下代码：

public class alg 
{
    public static int hmm (int x)
    {
        if (x == 1)
        {
            return 2;
        }
        return 2*x + hmm(x-1);
    }

    public static void main (String[] args)
    {
        int x = Integer.parseInt(args[0]);
        System.out.println(hmm(x));
    }
}

所以第一个问题是，这个算法算什么？ 我刚刚在eclipse中输入并运行了它 所以我可以更好地看到它的作用（之前是伪代码，我不能在这里输入，所以我输入了代码）。我已经意识到这个算法做了以下事情：它将接受输入并将其乘以它的以下数字。 举个例子：

input = 3, output = 12 because 3*4 = 12.  
Or Input = 6, output 42 because 6*7 = 42.

好的，下一个问题是我的问题。我被要求分析这个算法的运行时间，但我不知道从哪里开始。 我想说，一开始，当我们定义 x 时，我们已经得到了time = 1 我相信 if 循环也给出了time = 1。 最后一部分，return 2x + alg(x-1) 应该给出“something^x”还是..？ 所以最后我们得到了类似“something^x”+ 2的东西，我怀疑这是对的：/

编辑，也设法输入伪代码:)

Input: Integer x with x > 1
if x = 1 then
  return 2;
end if
return 2x + hmm(x-1);

Answer 1

当您遇到问题时，请尝试使用（小）数字遍历代码。

这是怎么计算的？

我们以hmm(3)为例：

1. 3 != 1，所以我们计算2 * 3 + hmm(3-1)。降低递归级别。
2. 2 != 1，所以我们计算2 * 2 + hmm(2-1)。降低递归级别。
3. 1 == 1，所以我们返回 2。没有更多的递归，因此hmm(2-1) == hmm(1) == 2。
4. 备份一个递归级别，我们得到2 * 2 + hmm(1) = 2 * 2 + 2 = 4 + 2 = 6。因此hmm(2) = 6
5. 另一个级别备份，我们得到2 * 3 + hmm(2) = 6 + 6 = 12

如果仔细观察，算法会计算：

2*x + ... + 4 + 2

我们可以反转这个并分解2 并得到

2 * (1 + 2 + ... + x).

这是一个arithmetic progression，我们有一个众所周知的公式（即x² + x）

需要多长时间？

渐近运行时间为O(n)。

没有循环，所以我们只需要计算递归的次数。人们可能很想计算单个计算步骤，但这些 a 在每个步骤中都是常数，因此我们通常将它们组合成一个常数因子k。

O(n) 是什么意思？

嗯...我们进行x - 1 递归步骤，在每一步中将x 减少1，直到达到x == 1。从x = n到x = 1有n - 1这样的步骤。因此我们需要k * (n - 1) 操作。

如果您认为n 非常大，- 1 变得可以忽略不计，所以我们放弃它。我们也去掉了常数因子，因为对于大的n、O(nk) 和O(n) 也没有太大区别。

Answer 2

函数计算

f(x) = 2(x + x-1 + x-2 + ... + 1)

它将在O(x) 中运行，即x 将在恒定时间O(1) 中被调用。