棘手的时间复杂度答案

【问题标题】：Tricky time complexity棘手的时间复杂度
【发布时间】：2014-08-08 08:03:06
【问题描述】：

我已经非常擅长计算时间复杂度，但仍然对如何确定指数时间算法感到困惑。下面的算法具有最坏情况下的运行时间 O(k^n)。他们是如何得到这个值的？第一个 for 循环花费 n 时间，第二个 for 循环花费 k 时间，第三个带有 q 的 for 循环令人困惑。如果运行时间是 n * k * q-something，他们是如何得到 O(k^n) 的？

int exp(k, n) {
    power = 1
    for i = 1 to n {
        newpower = 0
        for j = 1 to k {
            for q = 1 to power {
                newpower++
            }  
        }
        power = newpower
    }
    return (power)
}

【问题讨论】：

第三个 for 循环在哪里？
"第三个 for 循环在哪里？"他说这很棘手。
永远不要在你累死的时候发帖。更新了代码。

标签： algorithm time-complexity

【解决方案1】：

你给出的算法复杂度不是O(k^n)。复杂度只是O(nk)。该算法评估 nk。

【讨论】：

实际上，它评估k n 次:)
@Deepu 您的答案仅对问题的第一个（未完成）版本正确。

【解决方案2】：

O(k^n) 对我来说似乎是正确的。

j- 和 q-loop 总共有 k * power 迭代。但是power 每次i-loop 迭代都会以指数方式更新。

当i=1、j-和q-loop有k * 1迭代时。
当i=2、j-和q-loop有k * k迭代。
当i=3、j-和q-loop有k * (k*k)迭代。
当i=m、j-和q-loop有k * (k^(m-1))迭代。

k*(k^(m-1)) 就是 k^m，其中 1 O(k^n)。

【讨论】：

【解决方案3】：

第三个循环出现后，O(k^n) 的复杂度就说得通了。

首先你必须看到算法计算k^n：

q-loop 将当前power 添加到newpower
k-loop 运行 q-loop k 次，所以这个计算 k * power
这是由 i-loop 执行 n 次

所以你得到k* .... k*(k*(k*1)) (n-times) = k^n

现在我们知道算法计算k^n，它只通过加1来做到这一点，所以他需要加k^n1，所以复杂度是O(k^n)(Θ(k^n)确切地说）

【讨论】：

【解决方案4】：

这个

       for q = 1 to power {
            newpower++
       }

可以简化为

       newpower += power;

还有这个

    newpower = 0
    for j = 1 to k {
        for q = 1 to power {
            newpower++
        }  
    }
    power = newpower

到

   power *= k;

所以它实际上是通过重复递增来计算k^n。这是O(k^n)。

【讨论】：

【解决方案5】：

要解决这些棘手的问题，您必须仔细计算正在执行的指令数量，这并不总是那么容易（可能需要更高的数学水平）。

在这个问题中，让我们尝试计算 newpower++ 发生的次数（即最内层循环中的循环数），并在 k 循环的块中查看它。在第一次运行中，有 k 个块，每个运行 1 个：

1 1 1 1 ...
= 循环 1*k 次 = k 次

然后幂 = k。然后我们有 k 个 k 块： k k k k ...
= 循环 k*k 次 = k^2 次p>

继续这个模式，你会看到newpower++执行的次数是：
k + k^2 + k^3 + ... k^n 次。

但是 k^n 项支配其余项，因此您只剩下 O(k^n)。

【讨论】：