排队论学习笔记

author：旭宝ww
DateTime：2020/6/30

一、排队模型基本组成

输入过程
1、顾客源数量——有限 / 无限
2、顾客到来方式可能是一个一个也可能是成批
3、顾客到达的间隔时间——一般是服从某一概率分布（如负指数分布）
4、顾客的行为模式
　　在未服务之前不会离开；
　　当看到队列很长时离开；
　　会主动从一个队列移到另一个队列……
排队规则
1、队列容量——有限/无限
2、FCFS / LCFS / RSS / PS
服务机构
1、一个 / 多个服务台
2、多个服务台可以并联 / 串联 / 混合排列

二、排队模型的数量指标

平均队长：排队系统中全部顾客数的平均值，L_s
平均队列长：等待服务的顾客数的平均值，L_q
平均逗留时间：一个顾客在系统中停留时间的均值，W_s
平均等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间的均值，W_q

P_n(t) —时刻 t 时系统中顾客数为n的概率
$\lim_{t \to \infty} P_{n} (t)$ —稳态解
λ —平均到达率：单位时间内到达顾客的平均数
μ —平均服务率：单位时间内被服务的顾客的平均数
ρ = λ / μ —服务强度

ps：以上数量指标中，λ和μ是关键，可以通过分布函数求出其余量的值

三、排队系统中常见的分布

泊松分布

顾客到达的概率分布函数一般满足泊松分布：

$P_{n} (t)=P\left \{ N(t)=n\right \} =\frac{(\lambda t)^{n} }{n!} e^{-\lambda t}$
泊松分布满足在很小的时间间隔Δt内（忽略Δt的高阶无穷小）：
　　1、有一个顾客到达的概率为 λΔt
　　2、没有顾客到达的概率为 1-λΔt
　　3、多于一个顾客到达的概率为0

负指数分布

当顾客到达的分布函数满足泊松分布时，两个顾客相继到达的时间间隔T，以及系统中一个顾客的服务时间V满足负指数分布：
　　
$P(T\le t) = 1- e^{-\lambda t}\\P(V\le t) = 1- e^{-\mu t}$
负指数分布满足在很小的时间间隔Δt内（忽略Δt的高阶无穷小）：
　　1、有一个顾客被服务完的概率为 μΔt
　　2、没有顾客被服务完的概率为 1-μΔt
　　3、多于一个顾客被服务完的概率为0

爱尔郎分布

还没弄明白，留坑

四、排队模型的记号方案（Kandall记号）

一般形式：X／Ｙ／Ｚ／Ａ／Ｂ／Ｃ
Ｘ：顾客到达的概率分布（用Ｍ表示泊松分布）
Ｙ：服务时间的概率分布（用Ｍ表示负指数分布）
Ｚ：服务台的个数
Ａ：系统的容量限额
Ｂ：顾客源数目
Ｃ：服务规则

五、几种排队论模型

1.单服务台模型

标准型：M/M/1

排队论学习笔记
　　由递推关系可以得到稳态方程

迭代并利用 $\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}=1$ ,求得:

$P_n=(1-\rho )\rho^n\\L_s=\sum_{n=1}^{\infty} nP_n=\frac{\rho}{1-\rho} =\frac{\lambda}{\mu-\lambda} \\L_q=\sum_{n=1}^{\infty} (n-1)P_n=\frac{\rho\lambda}{\mu-\lambda} \\W_s=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k+1}{\mu}p_k=\frac{1}{\mu-\lambda} =\frac{\rho}{\lambda(1-\rho)} \\W_q=W_s-\frac{1}{\mu}=\frac{\rho}{\mu-\lambda}$

排队论学习笔记

目录

一、排队模型基本组成

二、排队模型的数量指标

三、排队系统中常见的分布