这是一篇来自Google DeepMind 2015年发表的一篇文章，由于最近在看的自然场景中的Curved text需要将Curved text 通过STN变换成tightly-bounded的文本，这样变换之后的文本对于后续的文本识别的效果更好。
众所周知，CNN（卷积神经网络）是一个很强大的分类网络，但是对于input data 还是缺少spatially invariant的能力，通常来说，要使CNN具有spatially invariant的能力，一般都是对Training data 做一个data argument 的操作。这里作者通过在传统的CNN模型中加入了空间变换网络，就无需做data argument 的过程，这样Training data会大大的减少，同时该网络也具有invariance to translation, scale, rotation and more generic warping等性质，因为该网络会自动将输入的各种类型的目标（例如curved text自动转换成tightly-bounded的文本），或者对于手写字的图片，会做如下所示的变换。
图1
图1所示，对于一个distorted Mnist digit classification问题，将STN 放入到这个fully-connected network的第一层会出现的效果如上所示，(a)图是输入图片（注意STN网络不只是针对image，还有feature map,这里是对image进行处理）可以看出这个些图片是distorted with random translation, scale, rotation, and clutter，（b）是STN中的网络预测的transformation（也就是预测的参数），（c）是运用了空间变换之后的结果图片，（d）是分类结果。
下面来看下具体的STN（空间变换网络）的具体结构。如下图所示。
图2
U代表feature map ,V代表经过空间变换之后的feature map ,U 输入到STN中，第一步：STN中的localisation network 预测出transformation parameters θ（变换参数），第二步：Tθ(G)中的G是regular spatial grid（V中feature map中的一个二维坐标），Tθ（）代表某种变换，Tθ(G)是代表的U中的sampling grid（是input map 中的点，output map中的各个点的像素值是通过这些点采样到的），第三步：以Sampling grid 和U 作为输入，输入到Sampler中得到结果V。
1.Localisation Network
输入的feature map 的维度为，H代表feature map 的Height,W代表Width，C代表Channel(对于下面讨论的都是C=1的情况，也就是输入单个Channel feature map,输出一个 变换之后的feature map,对于C不为1的情况同样讨论)输出的结果为θ
,其中U为输入特征图，f loc()代表Localisation network 。
2.Parameterised Sampling Grid
这部分是产生Simpling grid的过程，前面提到代表的是output map 中的所有点的集合，其中
代表的是每个点的坐标（其实STN的目的就是得到这些点上的像素值），这里考虑的是，对于如何产生input map 上的坐标，如下所示：
图3
其中代表的是U上的坐标，
代表的是2D 仿射变换（
代表的是某种Transformation 操作，这里用的是2D仿射变换），
代表的是V上的坐标（这里做的就是通过
找到U上的坐标点
），这些
所组成的集合叫做Sampling Grid，这就得到了我们想要的结果（这时只是V的坐标已知，而V里面的像素值并不知道）下面介绍如何产生V中的像素值。
图4
上图可以清楚的说明不同的变换参数（Localisation network获得的）得到的不同的结果，（a）中是经过参数I 变换之后获得的结果，其中U中的Sampling grid (蓝色的点)是通过I 变换得来的（I *，这里Sampling grid 与V中的Regular grid是一样的，等于没有做变换），然后通过Sampler（第三部分介绍） 得到结果V。（b）中的结果是通过仿射变换得到结果，其中U中的Sampling grid 是通过（
*
）得到的，与（a）类似，经过Sampler 得到最后的结果。
3.Differentiable Image Sampling
要实现Sampling 的功能，也就是将input map 进行转换得到output map 的结果，需要以第二部分得到的Sampling grid 和input map 作为输入，这样就能通过sampling kernel对input map中的像素进行采样，将得到的像素值放入对应的output map中相应的坐标位置。
上式中代表在某个channel（这里讨论C=1的情况）的feature map(output map）中某个位置i的像素值，
代表Sampling kernel ，它可以通过插值（例如双线性插值实现），
和
代表Sampling kernel
的参数。
代表的input map中坐标（n，m）位置的像素值，在上述式子（3）中
是已知的，
也是已知的，因此其意义就是找到与
一定范围的点的像素值进行加和，从而得到
，一定范围是由
决定的，例如，如下方程式（4）所示：
这里用了Kronecker delta 函数，目的就是取得离
最近的位置为（n,m）的像素值
，将其放入对应的output map的
，此时这个像素值
=
，当然作者还介绍了另外一种Sampling kernel，就是双线性插值函数，如下（5）所示：
该方程的意思是获得离距离不超过1的m，和离
距离不超过1的n的所有满足条件的像素值
的加和。最后作者为了说明STN是可以通过backpropagation来训练的，给出了如下公式：
由于Sampling function 的不连续，这里需要使用sub-gradients更新参数。最后附上一张比较直观的图，如下所示：
图5
总结：STN 能够在没有标注关键点的情况下，根据任务自己学习图片或特征的空间变换参数，将输入图片或者学习的特征在空间上进行对齐，从而减少物体由于空间中的旋转、平移、尺度、扭曲等几何变换对分类、定位等任务的影响。加入到已有的CNN或者FCN网络，能够提升网络的学习能力【4】。
这里有个问题需要说明下：
1.为什么在进行仿射变换的时候不是通过Input map上的坐标来生成Output map上的坐标？而是通过Output map上的点来生成 Input map上的坐标。
答：（1）这是由于通过Input map 坐标仿射变换生成 Output map的时候（左图生成右图），得到的Output map的坐标值可能不是整点数，这时候Input对应的Output虽然有像素值，但这时，像素值应该放在哪个格子里呢？如下图红点所示，假设第二排左边的一个×不在格子里面，那我们得到的这个坐标（也就是有图的红点）也就没什么意义。（2）（右图生成左图）那么有人可能会问，那么这样的话，当你通过Output map的坐标得到Input map的坐标也可能会得到不是整点的坐标值，这个回答是肯定的，例如第三排左边的第一个×，在仿射变换完事之后得到Input map上的点坐标就不在整点上，因此这时候就可以通过对Input map上的该点做双线性插值，就可以得到Input map上该点坐标近似的像素值了，放入Output map相应的格子中即可。
参考博客如下：
如对仿射变换不是很熟的话建议看下这个博主的博客，个人觉得不错。
https://blog.csdn.net/sinat_34474705/article/details/75125520
1.https://blog.csdn.net/xbinworld/article/details/69049680
2.http://www.cnblogs.com/neopenx/p/4851806.html
3.原文链接 https://arxiv.org/pdf/1506.02025.pdf
4.https://blog.csdn.net/shaoxiaohu1/article/details/51809605
5.https://blog.csdn.net/sinat_34474705/article/details/75268248