是否有可能在次二次时间内找到最接近所有点的点？

Question

一个算法问题。

输入：

• 数据点列表X
• 数据点 dist(x,y) 的度量函数需要 O(1) 时间来评估并遵守三角不等式

是否有一种算法可以返回数据点向量Y，使得Y[i] 是X 中与X[i] 在次二次时间内最近的点？

显然这在 O(n^2) 中是可能的，因为您可以直接检查每个点。我想知道是否有可能利用三角不等式来改善这一点。我也会对具有可证明边界的近似算法感兴趣（例如，Y[i] 之类的最小距离不超过 (1 + log(n)) 乘以与X[i] 的距离）。

Answer 1

没有这样的算法。考虑一个度量，其中除了一对点之外的所有点都在距离 1 处。如果不咨询其特定的距离 oracle 条目，就无法找到该对，这在最坏的情况下需要 Omega(n^2) 查询。

Cover trees 可用于解决精确邻居问题。时间限制取决于指标的所谓加倍维度。