从 3 个点找到所有可能的三次方程

Question

我正在尝试找到可以从某个场景中找到的所有三次方程

在这种情况下，有 3 个点可以动态移动，但是对于这种情况应该假设是静态的。所有符合条件的三次方程都必须通过这三个点。还有一个滑块可以增强当前功能以更改其形状，同时保持它通过三个点。

我的意思的一个例子可以（排序）在这里看到：https://jsfiddle.net/3281qebw/

我已经尝试找到方程式，这是我的工作：

ax1^3+bx1^2+cx1+d=y1
ax2^3+bx2^2+cx2+d=y2
ax3^3+bx3^2+cx3+d=y3

ax1^3+bx1^2+cx-y1 = ax2^3+bx2^2+cx2-y2

a=y1-y2-d*(x1-x2)-b*(x1^2-x2^2)
  -----------------------------
          x1^3-x2^3

从那里，我试图找到另外两个，导致这段代码：

xone = (slider - 50) / 50;

//variables for use in equation
var varK = (firsty - secondy) / (Math.pow(firstx, 3) - Math.pow(secondx, 3));
var varL = (firstx - secondx) / (Math.pow(firstx, 3) - Math.pow(secondx, 3));
var varM = (Math.pow(firstx, 2) - Math.pow(secondx, 2)) / (Math.pow(firstx, 3) - Math.pow(secondx, 3));

var varAlpha = (firsty - (varK * Math.pow(firstx, 3))) / (Math.pow(firstx, 2) - Math.pow(firstx, 3) * varM);

var varBeta = 1 / (Math.pow(firstx, 2) - Math.pow(firstx, 3) * varM);

var varDelta = (firstx - Math.pow(firstx, 3) * varL) / (Math.pow(firstx, 2) - Math.pow(firstx, 3) * varM);

//variables for equation
xzero = ((varK - xone * varL - varAlpha + varDelta * xone) * Math.pow(thirdx, 3) + (varAlpha - varDelta * xone) * Math.pow(thirdx, 2) + xone * thirdx) / (varBeta * Math.pow(thirdx, 3) - varBeta * Math.pow(thirdx, 2) + 1);
xtwo = varAlpha - varBeta * xzero - varDelta * xone;
xthree = varK - xone * varL - xtwo * varM;

我确信这会起作用，但是，从 jsfiddle 中可以看出，当滑块移动时，第三点由于某种原因被排除在外。

如果可能的话，我想找出我的算法中可能存在的任何错误，或者任何更好的通用方程。

我决定采取不同的方法：

d=ax^3+bx^2+cx-y

使用这个，我得到了：

y2=y1+a(x2^3-x1^3)+b(x2^2-x1^2)+c(x2-x1)

      y₂-y₁
 c  = ───── - b(x₁+x₂)-a(x2^2+x2x1+x1^2)
      x₂-x₁

但这是我能做到的。

我花了几个小时的时间制作了这些代码块：

    xzero = (thirdy - (firsty * Math.pow(thirdx, 3) / Math.pow(firstx, 3)) + (secondy * Math.pow(thirdx, 3) / firstx) - (Math.pow(thirdx, 3) * (firsty * Math.pow(secondx, 3) / Math.pow(firstx, 3)) / firstx) + (Math.pow(thirdx, 3) * (xone * (secondx, 3) / Math.pow(xone, 2)) / firstx) + (xone * Math.pow(thirdx, 3) / Math.pow(firstx, 2)) - secondy * Math.pow(thirdx, 2) + (firsty * Math.pow(secondx, 3) * Math.pow(thirdx, 2) / Math.pow(firstx, 3)) - (xone * Math.pow(secondx, 3) * Math.pow(thirdx, 2) / Math.pow(firstx, 2)) + (xone * secondx * Math.pow(thirdx, 2)) - xone * thirdx) / (1 + (Math.pow(secondx, 3) * Math.pow(thirdx, 2) / Math.pow(firstx, 3)) + (Math.pow(thirdx, 3) / firstx) - Math.pow(thirdx, 2) - (Math.pow(secondx, 3) * Math.pow(thirdx, 3) * (1 / Math.pow(firstx, 3)) / firstx))

xtwo = (secondy - (firsty * Math.pow(secondx, 3) / Math.pow(firstx, 3)) + (xone * Math.pow(secondx, 3) / Math.pow(firstx, 2)) + (xzero * Math.pow(secondx, 3) / Math.pow(firstx, 3)) - xone * secondx - xzero) / (Math.pow(secondx, 2) - (Math.pow(secondx, 3) / firstx));
xthree = (firsty / Math.pow(firstx, 3)) - (xtwo / firstx) - (xone / Math.pow(firstx, 2)) - (xzero / Math.pow(firstx, 3));

}

但是从这里可以看出：https://jsfiddle.net/v6bLu80w/ 由于某种原因它不起作用。可以请我帮忙吗？

更正：只要变量不为零，它就可以工作，但我之前似乎还有另一个问题，它不会通过第三点，如下所示：@987654323 @

Answer 1

您需要做两件事：(1) 找到通过三个点的二次方，(2) 修改它以获得您想要的不同三次方。

对于（1）：二次是

q(x)=y1*(x-x2)*(x-x3)/((x1-x2)*(x1-x3))+y2*(x-x1)*(x-x3)/((x2-x1)*(x2-x3))+y3*(x-x1)*(x-x2)/((x3-x1)*(x3-x2))

这看起来很吓人，但是 (a) 它显然是二次的，并且 (b) 如果您插入 x1、x2 或 x3，一切都会取消并正常运行。

对于 (2)：三次方是 f(x)=a*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)，因为它是一个三次方，不会影响所需点的函数。

您的解决方案是两者的总和。