在 3D 空间中获取平面多边形顶点的局部 2D 坐标

Question

我有几个平面多边形，它们是由它们在 3D 空间中的顶点定义的。这些多边形在 3 个维度上随机旋转。

现在我想在它们自己的本地 2D 空间中使用这些多边形顶点中的每一个。我真的不在乎这个本地空间的中心在哪里。我只需要 x & y 轴与多边形法线正交。

例如，如果我有一个多边形，它是一个宽度和高度为 1 的矩形，那么顶点可能如下所示：

v1 = [-0.558013, -0.0334937, -0.433013]
v2 = [0.308013, 0.466506, -0.433013]
v3 = [-0.308013, -0.466506, 0.433013]
v4 = [0.558013, 0.0334937, 0.433013]

但我希望它们看起来像这样：

v1 = [0, 0]
v2 = [0, 1]
v3 = [1, 1]
v4 = [1, 0]

所以我的问题是，如何将每个顶点的 3D 坐标转换为局部 2D 坐标？

Answer 1

首先考虑多边形p0、p1 和p2 的三个非共线点，然后计算

loc0 = p0                       # local origin
locx = p1 - loc0                # local X axis
normal = cross(locx, p2 - loc0) # vector orthogonal to polygon plane
locy = cross(normal, locx)      # local Y axis

其中cross 是叉积运算符：

def cross(a, b):
    return P3d(a.y*b.z - a.z*b.y,
               a.z*b.x - a.x*b.z,
               a.x*b.y - a.y*b.x)

然后你对计算的局部轴 locx 和 locy 进行归一化

locx /= locx.length()
locy /= locy.length()

最后点的局部坐标很简单

local_coords = [(dot(p - loc0, locx),  # local X coordinate
                 dot(p - loc0, locy))  # local Y coordinate
                for p in points]

dot 是标量乘积运算符：

def dot(a, b):
    return a.x*b.x + a.y*b.y + a.z*b.z

要从局部坐标 (Lx, Ly) 返回到 3D，变换是

p = loc0 + Lx*locx + Ly*locy

Answer 2

对于一个多边形，需要在多边形的平面上找到一个局部的2D基，在这个2D基上投影多边形每个顶点的3D坐标，得到2D坐标。在下文中，我还假设您正在寻找正交的 2D 基（多边形平面上的单位长度和正交 2D 基向量）。

一步一步：

1. 计算多边形的（单位）法线n，假设顶点确实共面，

2. 取多边形的第一条边，用它来定义二维基的第一轴u（单位向量），

3. 使用 u 和 n (v = n x u) 用另一个轴 v 完成二维基础

4. 在 (u, v, n) 3D 基础上投影每个顶点，这将给出其在多边形平面中的 2D 坐标。

例如，下面有五个顶点的多边形：

   M1 +----+ M3
      |      \
      |       + M4
      |      /
   M2 +----+ M5

其中M1 具有3D 坐标v1 = (x1, y1, z1) 和M2 具有3D 坐标v2 = (x2, y2, z2)，等等...

1. 平面法线单位为：n = (v2 - v1) x (v3 - v1) / |(v2 - v1) x (v3 - v1)|

2. 二维基的第一轴为：u = (v2 - v1) / |(v2 - v1)|

3. 二维基的第二个轴为：v = n x u

4. 取多边形的一个顶点（或多边形平面中的任何点），例如M5。

   那么它的3D坐标可以写在(u, v, n)的基础上，原点v1。

     v5 = v1 + r5 * u + s5 * v + t5 * n
   
   
               (           ) ( r5 )   (  xu  xv  xn ) ( r5 )   (     ) ( r5 ) 
     v5 - v1 = (  u  v  n  ) ( s5 ) = (  yu  yv  yn ) ( s5 ) = (  B  ) ( s5 ) 
               (           ) ( t5 )   (  zu  zv  zn ) ( t5 )   (     ) ( t5 ) 
   

   其中t5应该为0（它是该点沿平面法线的坐标，所以如果该点位于多边形的平面上，则为0）。

   所以，求解(r5, s5, t5) 产生：

     ( r5 )                                    (  u  )
     ( s5 ) = B^-1 (v5 - v1) = B^T (v5 - v1) = (  v  ) ( v5 - v1 )
     ( t5 )                                    (  n  )
   

   因为B是正交矩阵（所以B^-1 = B^T）。

   最后，一个简单的：

     r5 = u . (v5 - v1)
     s5 = v . (v5 - v1)
   

   其中. 是向量点积。