Big-o 复杂性问题 - 线性累积功率答案

【问题标题】：Big-o complexity problem - Linear cumulative powerBig-o 复杂性问题 - 线性累积功率
【发布时间】：2020-06-01 23:37:35
【问题描述】：

我正在尝试解决我在 2013 年斯坦福大学“算法设计与分析”课程中发现的一些问题。特别是问题集 1 here 中的问题 3。

总结如下：

问题要求你设计一个使用 Θ(n)W 总功率的算法。

作为问题集 1 中的一个 5 分问题，我认为这比我找到的要容易。

...这个算法是什么？....或者我怎样才能改变我的想法来找到一个？

问题指出，“每次仅将功率增加 1 瓦”的策略将导致总功率为 Θ(n^2)W。事实上，这是真的，因为任何 n 使用的总功率是 n * (n+1) / 2。

但是，我想不出任何不是这样的策略：

此外，如果我暂时忽略无线电的离散性并将问题分析为连续线性函数，则总功率应该可以推广到 @ 形式的函数 g(n) 987654324@（其中 K 和 B 是常数）。这个线性函数将表示我们需要用于控制无线电的函数的积分。

然后，如果我取这个函数的导数 dg(n)/dn，我就剩下 K。即如果我想获得线性总功率，我应该以恒定功率驱动收音机 n 次……但这只有在我第一次碰巧猜对 K 时才会导致救援.

编辑

是的，我已经考虑过加倍等......但是这里的答案指出了我的想法错误。我一直在尝试解决“设计一种具有线性累积功耗的算法”的问题……我认为这是不可能的。正如答案所指出的那样，我应该将其视为“对于给定的 n，设计一个将消耗 Kn 的算法”......即提出了什么问题。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我已经阅读了作业... 它表明无线电能够以整数传输，但这并不意味着您应该逐个尝试并遍历所有整数，直到n。

好吧，我可以给你答案，但我会试着引导你自己思考：

请注意，您需要发送的信号或大于大于n，因此您无法“走远”。现在，有了复杂性的概念，如果你检查所有信号，你会得到一系列 (1+2+3+...+n) 等于Θ(n^2)，试着想一个你想要的模式可以跳过其中的一些并获得一个总和为Θ(n) 的系列。

这个任务类似于搜索算法，天真地用于Θ(n^2)，但有些算法减少到更少 - 你应该去探索它们是如何工作的:)

如果你想要一个答案的方法：

您可以从 1W 开始，每一步将其加倍以进行下一次传输。这样，您将进行log(n) 尝试，并且每次尝试都会花费i 其中i 是该尝试的力量。所以累积功率将是这样的：(1+2+4+8+16+...+n) 等于2n-1 并且符合Θ(n) 的要求

【讨论】：

【解决方案2】：

这里有一个简单的算法和复杂度分析：

复杂性：

所以基本上我们在电源p>= n 时停止，其中 n 是所需的阈值。我们知道：

p>=n and p/2<n => n<=p<2n

为了达到pW（即接收所需的级别），这意味着您之前尝试使用 p/2，在该 p/4 之前...并且最初使用 1，所以让我们总结一下所有步骤：

1+2+4+...+p/2+p -> 2*p ~ Θ(p) = Θ(n)

【讨论】：