给定重复元素集中不同元素子集总数的算法

Question

我必须找出 'k' (k > 1) 的子集的总数，长度包含不同的元素。如果碰巧有相同的元素但具有不同的索引，则认为两个子集是不同的。请参阅下面的示例。

给定一个集合 A={1, 1, 2, 3}。

对于 k=2，可能的子集是 {1(index=1), 2}, {1(index=2), 2}, {1(index=1), 3}, {1(index=2), 3} 和 {2, 3}。总计=5。

对于 k=3，可能的子集是 {1(index=1), 2, 3}, {1(index=2), 2, 3}。总计=2。

对于 k=4，可能的子集=0。

我必须为长度为 10^5 的数组计算此值。有什么组合逻辑吗？

Answer 1

这是一个O(m * k) 方法，其中m 是A 中不同元素的数量。

将A 中的每个不同元素映射到其出现次数（您可以在O(n) 运行时使用哈希映射）。让这些数字成为

c[1], c[2], ..., c[m]

现在您可以看到k distinct 的集合总数是所有可能产品的总和

c[i1] * c[i2] * ... * c[ik]

（在您的示例中，c[1] = 2, c[2] = 1, c[3] = 1 并且您可以看到具有 2 个不同元素的集合数为 2*1+1*1+2*1 = 5）。

你还可以看到，这个数字是多项式中x^k前面的系数：

(1+c[1]*x)*(1+c[2]*x)*...*(1+c[m]*x)

这可以通过用每个多项式1 + c[i]* x 乘法更新次数为k（在开始时初始化为常数1）的多项式来迭代计算。

运行时间是O(m * k)。