元组非指数算法中不同元素的总和

Question

我正在做某事，我能够将问题简化为特定形式：给定 k 个整数中的每一个 n 个元组，例如： (a1,a2,a3,a4) , (b1,b2,b3,b4 ) , (c1,c2,c3,c4) , (d1,d2,d3,d4)，我希望选择任意数量的元组，当它们相加时，给出一个没有正元素的元组。如果我选择元组 a 和 b，我得到元组 (a1+b1,a2+b2,a3+b3,a4+b4)。因此，如果 a = (1,-2,2,0) 且 b=(-1, 1, -3,0) 则 a+b =(0,-1,-1,0) 不包括正数，因此是问题的解决方案。

除了检查所有子集元组的总和（需要 2^n 步）之外，有没有办法获得解决方案（或验证其不存在）？

由于这个问题出自我的脑海，而不是特定的教科书，我不知道正确的表达方式，并且寻找答案的研究完全是徒劳的。我的大部分搜索都将我引向子集求和问题，我们从列表中选择 k 个元素来求和特定问题。我的问题可以说是一个复杂的问题：我们从一个列表中选择一组元组，我们希望这些元组中每个元素的总和为

编辑：感谢提供的链接，并且由于 cmets 表明小于指数的解决方案很困难，解决了元素范围在 -1,0 和 1 之间的元组的问题对我来说就足够了。此外，元组将有 10,000-20,000 个整数，并且不会超过 1000 个元组。每个元组最多有 10 个 1 和 10 个 -1，其余为零

如果有人也能证明它是某种 NP，那就太好了。

我没有想出DP解决方案，排序似乎没有用

Answer 1

这可以在伪多项式时间内使用动态规划在给定的约束条件下求解。

说明

这类似于subset sum problem 的伪多项式时间动态规划解决方案。它仅扩展到多个维度 (4)。

时间复杂度

O(n * sum⁴) 或者在这种情况下，由于 sum 已由n 界定， O(n⁵)

解决方案

Demo

这是一个 C++ 中自上而下的动态编程解决方案。

const int N = 50;
int a[50][4]= {{0, 1, -1, 0},
          {1, -1, 0, 0},
          {-1, -1, 0, -1}};

unordered_map<int, bool> dp[N];

bool subset(int n, int sum1, int sum2, int sum3, int sum4)
{
  // Base case: No tuple selected
  if (n == -1  && !sum1 && !sum2 && !sum3 && !sum4)
    return true;
  // Base case: No tuple selected with non-zero sum
  else if(n == -1)
    return false;
  else if(dp[n].find(hashsum(sum1, sum2, sum3, sum4)) != dp[n].end() )
    return dp[n][hashsum(sum1, sum2, sum3, sum4)];

  // Include the current element
  bool include = subset(n - 1,
    sum1 - a[n][0],
    sum2 - a[n][1],
    sum3 - a[n][2],
    sum4 - a[n][3]);
  // Exclude the current element
  bool exclude = subset(n - 1, sum1, sum2, sum3, sum4);

  return dp[n][hashsum(sum1, sum2, sum3, sum4)] = include || exclude;
}

对于memoization，hashsum的计算如下：

int hashsum(int sum1, int sum2, int sum3, int sum4) {
  int offset = N;
  int base = 2 * N;
  int hashSum = 0;
  hashSum += (sum1 + offset) * 1;
  hashSum += (sum2 + offset) * base;
  hashSum += (sum3 + offset) * base * base;
  hashSum += (sum4 + offset) * base * base * base;
  return hashSum;
}

然后驱动程序代码可以搜索任何非正数，如下所示：

int main()
{
  int n = 3;
  bool flag = false;
  int sum1, sum2, sum3, sum4;
  for (sum1 = -n; sum1 <= 0; sum1++) {
    for (sum2 = -n; sum2 <= 0; sum2++) {
      for (sum3 = -n; sum3 <= 0; sum3++) {
        for (sum4 = -n; sum4 <= 0; sum4++) {
          if (subset(n - 1, sum1, sum2, sum3, sum4)) {
            flag = true;
            goto done;
          }
        }
      }
    }
  }
  done:
  if (flag && (sum1 || sum2 || sum3 || sum4))
    cout << "Solution found. " << sum1 << ' ' << sum2 << ' ' << sum3 << ' ' << sum4 << std::endl;
  else
    cout << "No solution found.\n";
  return 0;
}

请注意，总和 (0, 0, 0, 0} 的简单解决方案始终存在，其中从未选择过任何元素，因此在驱动程序代码中被忽略了。