寻找最大特征值的时间复杂度

Question

我正在尝试计算在一大堆小矩阵中计算最大特征向量的时间复杂度。

每个矩阵都是加权无向图中节点的 1 步邻域的邻接矩阵。所以所有的值都是正的，矩阵是对称的。 例如

0 2 1 1
2 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0

我发现 Power iteration 方法应该是 O(n^2) 每次迭代的复杂度。

这是否意味着为图中的每个节点找到 1 步邻域的最大特征向量的复杂度是 O(n * p^2)，其中 n 是节点数，p 是平均度数图（即边数/节点数）？

Answer 1

在我的脑海中，我想说你最好的选择是使用一种称为幂迭代的迭代随机算法。该算法是迭代的，通过几何收敛找到真正的最大特征值，最大特征值与第二大特征值之比。所以，如果你的两个最大特征值相等，不要使用这种方法，否则效果很好。你实际上得到了最大的特征值和各自的特征向量。

但是，如果您的矩阵非常小，您可能也可以执行 PCA，因为它不会那么昂贵。我不知道何时应该在两者之间切换的任何硬阈值。这也取决于您是否愿意接受小的不准确或绝对真实的价值。