您如何找到二维中两个三角形之间的交点/重叠的中心点？答案

【问题标题】：How do you find the center-point of the intersection/overlap between two triangles in 2D?您如何找到二维中两个三角形之间的交点/重叠的中心点？
【发布时间】：2021-05-14 17:06:39
【问题描述】：

对于上下文，我正在尝试解决 3D 物理引擎中的碰撞细节。以下是在两个凸形的分离平面上的二维投影中发生的。

我有两个三角形，我们称它们为 A 和 B。它们存储为一组 3 个点（例如 A1、A2、A3）。我已经知道这两个三角形重叠。如何确定大致位于重叠中心的点“P”？

我能想到的最好方法是尝试找到 6 条线的交点，然后，根据存在的交点，包括来自任一三角形的任意数量的点。选择的点以及交叉点可以形成一个多边形，然后我可以找到它的中心。但是，我知道这将是大量的计算，并且考虑到这是在实时环境中使用的，我想找到一个更好的方法。

以下是我所指的示例：

【问题讨论】：

如果你知道它们重叠，你知道交点吗？您需要创建一个重叠区域的多边形，然后找到它的质心。
@JohnAlexiou 不，我不知道。它们是作为 EPA 通行证的最后一步生成的，这意味着当沿碰撞法线投影时，minkowski 空间的原点位于组合三角形内；由于外壳是凸面的，这意味着当这些三角形投影到法线平面上时，它们也必须重叠。
根据分轴原理，如果将一个三角形的每个顶点的坐标代入另一个三角形的边方程，反之，就可以证明不存在交集。据此，我推测您无法使用少于六次的比较来解决您的问题，其中涉及一些 2x2 行列式。
你怎么知道三角形重叠？在得出这个结论的过程中，也许有一些有用的数据/属性可以重复使用以获得更快的解决方案。

标签： math collision-detection computational-geometry

【解决方案1】：

除了寻找两个凸多边形（不是三角形的通用术语）的交点的著名算法，如the Toussaint algorithm（与java implementation 和original paper of the method），您还可以使用this paper（三角形-三角形交点）的算法算法）找到两个三角形之间的相交区域。

现在，由于两个凸对象的交集是凸的，您可以使用this formula 基于从上述算法之一获得的交集区域的顶点轻松计算交集的质心。

【讨论】：

您似乎喜欢矫枉过正的解决方案。对于三角形，Toussaint 算法将比“蛮力”更昂贵，并且实现起来更复杂。 Triangle-Triangle 论文增加了一层复杂性，因为它解决了 3D 问题。我认为没有充分的理由更喜欢周长质心而不是顶点质心，这更容易计算。
亲爱的@YvesDaoust，你是对的。但是，不需要从头开始实施 Toussaint。有很多很好的库和实现（我以其中一个为例）。顺便说一句，这是一个正确的解决方案，但在你的脑海中是一个困难的解决方案。另外，我认为这是一个基于意见的讨论，因为我更喜欢 Toussant 的通用性，并且我在合理的时间内实施了它。
OP 正在寻求一种高效的实时解决方案。不是大锤。

【解决方案2】：

Toussaint 算法并不像看起来那么简单，而且对于两个三角形来说完全是矫枉过正。我会使用 Sutherland–Hodgman 裁剪算法。它将在其中一个三角形上进行三遍，并从三到六个顶点输出形成一个凸多边形。

顶点的平均值将在该多边形内。您甚至可以通过扩展鞋带公式来计算该区域的质心。 https://en.wikipedia.org/wiki/Centroid#Of_a_polygon

为了简化一些计算，您可以首先应用基的变化，使三角形之一减少到顶点 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0)，这样方程的半平面只是 x≥0, y≥0, 1-x-y≥0。这将使测试和交叉点更容易。

【讨论】：