python素数分解性能

Question

我对 python 比较陌生，我对两个相对简单的代码块的性能感到困惑。第一个函数在给定素数列表的情况下生成数字 n 的素数分解。第二个生成 n 的所有因子的列表。尽管prime_factor 会比factors 快（对于相同的n），但我会认为情况并非如此。我不是在寻找更好的算法，而是想了解为什么prime_factor 比factors 慢得多。

def prime_factor(n, primes):
  prime_factors = []
  i = 0
  while n != 1:
      if n % primes[i] == 0:
          factor = primes[i]
          prime_factors.append(factor)
          n = n // factor
      else: i += 1
  return prime_factors

import math
def factors(n):
  if n == 0: return []
  factors = {1, n}
  for i in range(2, math.floor(n ** (1/2)) + 1):
      if n % i == 0:
          factors.add(i)
          factors.add(n // i)
  return list(factors)

使用timeit模块，

{ i:factors(i) for i in range(1, 10000) } 需要 2.5 秒

{ i:prime_factor(i, primes) for i in range(1, 10000) } 需要 17 秒

这让我很惊讶。 factors 检查从 1 到 sqrt(n) 的每个数字，而 prime_factor 只检查素数。如果能帮助我理解这两个函数的性能特征，我将不胜感激。

谢谢

编辑：（对 roliu 的回应） 这是我生成从 2 到 up_to 的素数列表的代码：

def primes_up_to(up_to):
  marked = [0] * up_to
  value = 3
  s = 2
  primes = [2]
  while value < up_to:
      if marked[value] == 0:
          primes.append(value)
          i = value
          while i < up_to:
              marked[i] = 1
              i += value
      value += 2
  return primes

Answer 1

在没有看到您用于 primes 的情况下，我们不得不猜测（我们无法运行您的代码）。

但其中很大一部分只是数学：（非常粗略地说）n/log(n) 的质数小于n，并且比sqrt(n) 大得多。所以当你传递一个素数时，prime_factor(n) 会做更多的工作：它在找到第一个素数因子之前会经过O(n/log(n)) 操作（n 本身！），而factors(n) 在O(sqrt(n)) 操作之后会放弃。

这可能非常重要。例如，sqrt(10000) 只是 100，但有 1229 个质数小于 10000。所以prime_factor(n) 可以需要做 10 倍以上的工作来处理你范围内的大质数。