均匀网格上的三次偏导近似

【问题标题】：Third partial derivative approximations on uniform grid均匀网格上的三次偏导近似
【发布时间】：2015-01-09 08:28:34
【问题描述】：

我有统一的网格，必须计算节点处的三次偏导近似值。

There 我只找到了二阶的近似值。

有人可以指出或解释建立三阶偏导数公式的方法吗？

特别是我要计算f_xxx(x,y),f_xxy(x,y) em>、f_yyy(x,y) 和 f_yyx(x,y)。

非常感谢。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

假设 f[i,j] 是节点 (i,j) 处的值，h 是空间步长的大小。您已经知道如何计算 f 的二阶导数，例如

fxx[i,j] = (f[i+1,j]-2*f[i,j]+f[i-1,j])/h^2
fyy[i,j] = (f[i,j+1]-2*f[i,j]+f[i,j-1])/h^2
fxy[i,j] = (f[i+1,j+1]-f[i+1,j-1]-f[i-1,j+1]+f[i-1,j-1])/h^2

这些是二级精度，即误差约为h²。为了保持这种准确性，请使用对称差分规则再求一个导数，例如

gx[i,j] = (g[i+1,j]-g[i-1,j])/(2*h)

这会导致：

fxx[i,j] = ((f[i+2,j]-2*f[i+1,j]+f[i,j])-(f[i,j]-2*f[i-1,j]+f[i-2,j]))/(2*h^3)

（可以简化），对于其他派生类也是如此：

fxxy[i,j] = ((f[i+1,j+1]-2*f[i,j+1]+f[i-1,j+1])-(f[i+1,j-1]-2*f[i,j-1]+f[i-1,j-1]))/(2*h^3)

【讨论】：