查找用于交织字符串的递归算法的计算复杂度

Question

我开发了以下代码来确定字符串 s 是否是字符串 x 和 y 的交错。 s 内可以有 x 和 y 的重复，并且字符不必是连续的。例如，如果字符串 s = “11011001”，字符串 x = “110”，字符串 y = “01”，它将返回 true。

我希望有人可以帮助我确定算法的计算复杂度。我已经粘贴了下面的算法（java），但不知道如何找到它的计算复杂度。任何帮助将非常感激。谢谢！

public static boolean isInterleaving (String x, String y, String s) {
   if (s.length()==0)
       return true;

   if (s.charAt(0)==x.charAt(0)) {
       x = x.substring(1) + x.charAt(0);
       if (isInterleaving(x, y, s.substring(1)))
           return true;
   }
   if (s.charAt(0)==y.charAt(0)) {
       y = y.substring(1) + y.charAt(0);
       if (isInterleaving(x, y, s.substring(1)))
           return true;
   }
   return false;
   }

Answer 1

运行时是O(2^n)，其中n 是字符串s 的长度。查看方法如下：每次输入isInterleaving 方法时，执行几个在O(1) 时间运行的简单检查（假设substring() 方法为O(1)）。如果这些检查中的任何一个为真，则递归，除了将字符串 s 的大小缩小 1。在对 isInterleaving 的每次调用中，我们将对 @987654330 进行 0、1 或 2 次递归调用@。在最坏的情况下，我们将对 isInterleaving 进行 2 次递归调用。这会导致指数运行时间，因为对isInterleaving 的每次调用都可能导致另外两次调用。因此，O(2^n) 的最坏情况运行时。

另一种推断方法是检查运行时，因为我们需要越来越长的 String s：

案例 0 (s.length() == 0)：运行时间显然是恒定的，称之为 C。

案例 1 (s.length() == 1)：可能导致两个递归调用，每个调用都具有案例 0 所描述的运行时间。因此运行时间为 2*C。

案例 2 (s.length() == 2)：可能导致两个递归调用，每个都与案例 1 一样，因此运行时间为 2*2*c = 2^2 * C

我们可以归纳地看到，当 s.length() == n 时，我们的运行时间为 2^n*C。由于 C 是一个常数，因此在考虑“Big-O”时可以忽略它，因此运行时为 O(2^n)。