阶乘递归算法的复杂度

Question

今天在课堂上，我的老师在黑板上写下了这个递归阶乘算法：

int factorial(int n) {
   if (n == 1) 
       return 1;
   else 
       return n * factorial(n-1);
}

她说它的成本是T(n-1) + 1。

然后用迭代方法她说T(n-1) = T(n-2) + 2 = T(n-3) + 3 ... T(n-j) + j，所以算法在n - j = 1时停止，所以j = n - 1。

之后，她将j替换为T(n-j) + j，得到T(1) + n-1。

她直接说对于那个n-1 = 2^(log₂n-1)，所以算法的代价是指数级的。

最后两步我真的输了。有人可以向我解释一下吗？

Answer 1

让我们开始分析这个算法。我们可以为完成的工作总量写一个递归关系。作为一个基本情况，当算法在大小为 1 的输入上运行时，您会做一个工作单元，所以

T(1) = 1

对于大小为 n + 1 的输入，您的算法在函数本身内执行一个工作单元，然后在大小为 n 的输入上调用相同的函数。因此

T(n + 1) = T(n) + 1

如果你扩展重复的条款，你就会明白

• T(1) = 1
• T(2) = T(1) + 1 = 2
• T(3) = T(2) + 1 = 3
• T(4) = T(3) + 1 = 4
• ...
• T(n) = n

所以一般来说，这个算法需要 n 个工作单元才能完成（即 T(n) = n）。

你的老师接下来说的是

T(n) = n = 2^{log₂ n}

这个说法是正确的，因为 2^log₂x = x 对于任何非零 x，因为取幂和对数是彼此的逆运算。

所以问题是：这是多项式时间还是指数时间？我将其归类为伪多项式时间。如果将输入 x 视为一个数字，则运行时确实是 x 中的多项式。但是，多项式时间是正式定义的，因此算法的运行时间必须是关于用于指定问题输入的位数的多项式。在这里，数字 x 只能以 Θ(log x) 位指定，因此 2^{log x} 的运行时间在技术上被认为是指数时间。我在this earlier answer 中将其写为长度，我建议您查看它以获得更全面的解释。

希望这会有所帮助！