使用 Prolog 获取所有可能的二叉树？

Question

我知道有很多关于定义二叉树来检查某物是否是二叉树的问题，但我找不到在“相反方向”解决这个问题的线程。

为什么你对二叉树的定义在调用“es_arbol(X)”时没有返回所有可能的二叉树？详细解释并尝试实现一个不同的定义，它确实返回所有可能的二叉树结构。

好的，所以基本上我被困在这部分作业中。在定义了我的二叉树验证函数后，我注意到当不带参数调用它时，它只会返回通过它们的右节点“生长”的树，或者在至少这就是我解释 swi-prolog 的输出的方式。我没有得到的是，假设我的定义是正确的，Prolog 应该能够以两种方式构造它们。如果没有，我希望有人能指出我的正确方向来制定一个更一般的二叉树定义，或者解释为什么我的定义不够。

这是我的定义：

es_arbol(nil).
es_arbol(arbol(_,I,D)) :- es_arbol(I), es_arbol(D).

Answer 1

您的谓词沿一个分支生成无限数量的树的原因是因为您有多个递归，并且像任何语言一样，Prolog 将继续进行它找到的第一个递归调用，直到它返回，在这种情况下，永不。所以你总是在树的一条腿上递归。换句话说，每棵树（左子树和右子树）中至少有两个变量，它们具有无限多的可能性。

二叉树在二维上具有无限的递归可能性。您需要一种使用一维度量对树进行排序的方法。一种这样的指标可能是树中的节点数。如果您按节点计数对树进行排序，从节点计数 0 开始，那么对于每个节点计数，都有有限数量的树要枚举。这是它的一般工作方式：

1. Nodes 是有效的节点数
2. nil 是具有 0 个节点的有效二叉树
3. arbol(_, TL, TR) 是具有 N 节点的有效二叉树，如果 NL 和 NR2 加起来为 N-1 和 TL 是 NL 节点的有效二叉树，并且 TR 是有效二叉树NR 节点的树。由于 Prolog 会在回溯之前从给定点找到所有解决方案，因此它将首先搜索具有给定节点数的所有树，然后再回溯到新的有效节点数。

在 Prolog 中，它看起来像这样。

:- use_module(library(clpfd)).

es_arbol(Tree) :-
    length(_, Nodes),
    es_arbol(Tree, Nodes).

我使用length/2 来“生成”Nodes 0、1、2 等值。es_arbol(Tree) 将成功生成连续节点计数从 0 开始的二叉树。对于给定的节点计数，@ 987654336@，它将在最终失败之前找到es_arbol(Tree, Nodes)的所有解决方案并再次回溯到length(_, Nodes)，这将在Node的下一个值上成功。

es_arbol(nil, 0).
es_arbol(arbol(_,TreeL,TreeR), N) :-
    N #> 0,
    NL + NR #= N - 1,
    NL #>= 0, NR #>= 0,
    es_arbol(TreeL, NL),
    es_arbol(TreeR, NR).

基本情况是微不足道的。 nil 是具有 0 个节点的树。递归情况表明arbol(_,L,R) 是具有N 节点的二叉树，如果N > 0、NL 和NR 是加起来为N 和TL 和TR 的非负整数是长度分别为NL 和NR 的二叉树。

以上代码运行结果为：

?- es_arbol(Tree).
Tree = nil ;
Tree = arbol(_G258, nil, nil) ;
Tree = arbol(_G17, nil, arbol(_G157, nil, nil)) ;
Tree = arbol(_G17, arbol(_G200, nil, nil), nil) ;
Tree = arbol(_G14, nil, arbol(_G154, nil, arbol(_G593, nil, nil))) ;
Tree = arbol(_G14, nil, arbol(_G154, arbol(_G603, nil, nil), nil)) ;
Tree = arbol(_G14, arbol(_G130, nil, nil), arbol(_G191, nil, nil)) ;
Tree = arbol(_G14, arbol(_G53, nil, arbol(_G193, nil, nil)), nil) ;
Tree = arbol(_G14, arbol(_G53, arbol(_G236, nil, nil), nil), nil) ;
Tree = arbol(_G14, nil, arbol(_G100, nil, arbol(_G214, nil, arbol(_G354, nil, nil)))) ;
Tree = arbol(_G14, nil, arbol(_G100, nil, arbol(_G214, arbol(_G397, nil, nil), nil))) ;
Tree = arbol(_G14, nil, arbol(_G100, arbol(_G216, nil, nil), arbol(_G277, nil, nil))) ;
Tree = arbol(_G14, nil, arbol(_G100, arbol(_G139, nil, arbol(_G279, nil, nil)), nil)) ;
Tree = arbol(_G14, nil, arbol(_G100, arbol(_G139, arbol(_G322, nil, nil), nil), nil)) ;
Tree = arbol(_G14, arbol(_G130, nil, nil), arbol(_G191, nil, arbol(_G664, nil, nil))) ;
Tree = arbol(_G14, arbol(_G130, nil, nil), arbol(_G191, arbol(_G674, nil, nil), nil)) ;
Tree = arbol(_G14, arbol(_G132, nil, arbol(_G272, nil, nil)), arbol(_G676, nil, nil)) .
...

---

正如@false 在 cmets 中指出的那样，在这种应用枚举约束的情况下，使用 CLP(FD) 并不是最有效的方式。另一种更有效的方法是使用between/3：

es_arbol(nil, 0).
es_arbol(arbol(_,TreeL,TreeR), N) :-
    N > 0,
    N1 is N - 1,
    between(0, N1, NL),
    NR is N1 - NL,
    es_arbol(TreeL, NL),
    es_arbol(TreeR, NR).

Answer 2

Lurker 已经给出了一个非常好的使用 CLP(FD) 约束的通用解决方案。

我想用另一种方法来增加现有答案，以限制搜索的深度。我使用 list 以符号方式“计数”，而不是 整数。

为了推理 Prolog 中的列表，DCG 表示法 (dcg) 通常非常方便，在这种情况下也是如此：

es_arbol(nil) --> []。 es_arbol(arbol(_,I,D)) --> [_]，es_arbol(I)，es_arbol(D)。

您可以将这些规则视为“消耗信用”来应用。

如果我天真地查询，那么我会得到一个 不公平 枚举：

?- 短语(es_arbol(A), Ls)。 A = 无， LS = [] ; A = arbol(_9016, nil, nil), LS = [_9024] ; A = arbol(_9016, nil, arbol(_9030, nil, nil)), Ls = [_9024, _9038] ; A = arbol(_9016, nil, arbol(_9030, nil, arbol(_9044, nil, nil))), Ls = [_9024, _9038, _9052] ; A = arbol(_9016, nil, arbol(_9030, nil, arbol(_9044, nil, arbol(_9058, nil, nil)))), Ls = [_9024, _9038, _9052, _9066]。

关键是我们可以通过限制列表的长度轻松地将其变成公平枚举。例如，要获得恰好具有 两个 内部节点的所有树，我们可以使用：

?- 短语(es_arbol(A), [_,_])。 A = arbol(_10426, nil, arbol(_10434, nil, nil)) ; A = arbol(_10426, arbol(_10434, nil, nil), nil) ; 错误的。

在此基础上，我们可以使用迭代深化来公平地枚举所有树形：

?- length(Ls, _), 短语(es_arbol(A), Ls)。 LS = [], A = 无； Ls = [_7130], A = arbol(_7142, nil, nil) ; Ls = [_7130, _7136], A = arbol(_7148, nil, arbol(_7156, nil, nil)) ; Ls = [_7130, _7136], A = arbol(_7148, arbol(_7156, nil, nil), nil) ; Ls = [_7130, _7136, _7142], A = arbol(_7154, nil, arbol(_7162, nil, arbol(_7170, nil, nil))) ; Ls = [_7130, _7136, _7142], A = arbol(_7154, nil, arbol(_7162, arbol(_7170, nil, nil), nil)) ; Ls = [_7130, _7136, _7142], A = arbol(_7154, arbol(_7162, nil, nil), arbol(_7170, nil, nil)) 。

因此，“象征性地”计数有时是使用实际整数的便捷替代方法。