另一种二叉搜索树的节点公式

Question

我正在尝试查找定义如下的树中的最大节点数：

根最多可以有 2 个孩子。 左边的每个子树最多可以有 L 个孩子。 右边的每个子树最多可以有 R 个子树。

我知道在二叉树中查找节点数的公式是 2^h-1，其中 h 是树中的层数。

用外行的话来说，这将如何处理？ （我不是很数学。）

Answer 1

所以更正式地说，你试图找到二叉搜索树中的节点数，使得树的根有两个孩子，左边的每个子树最多有 l 个孩子，右边的每个子树都有r 孩子。

我们可以分别考虑左右树，因为它们不会影响彼此的高度。不考虑根，我们将根的左子树称为L，将根的右子树称为R。 L 持有 L 中的每个节点不能有超过 l 个子节点的不变量。类似地，R 中的每个节点不能有超过 r 个子节点。

让我们构造两个函数，b和c，它们取高度h并输出L 或 R 分别。

b(h) = if h = 1 then 1 else l * b(h - 1)
c(h) = if h = 1 then 1 else r * b(h - 1)

现在，我们可以构造函数 a，它采用高度 h 并输出您定义的树的最大节点。

a(h) = if h = 1 then 1 else (b(h - 1) + c(h - 1))

现在，我们要为 a 找到一个封闭的形式。让我们从寻找 b 和 c 的封闭形式开始。

给定正高度h，因为除了第一种情况，l 被重复相乘，

b(h) = l^(h - 1)
c(h) = r^(h - 1)
a(h) = if h = 1 then 1 else (l^(h - 1) + r^(h - 1))

我不确定您是否还想在 a 的封闭形式中考虑 h = 1，但给定 h > 1 ，求你定义的二叉搜索树的最大节点数的公式是

l^(h - 1) + r^(h - 1)