计算数组 O(N) 中总和最大的序列答案

【问题标题】：count the sequence that has the max sum in array O(N)计算数组 O(N) 中总和最大的序列
【发布时间】：2015-01-07 08:03:45
【问题描述】：

如果我想计算数组中具有最大总和的序列，当我有 O(n) 时间复杂度的限制时，我该怎么做？

例如：{1,2,3,4,-3} 输出将是 4，因为 1+2+3+4 的和是最大和，并且该序列中有 4 个数字

我知道如何使用 O(N^2) 时间复杂度但不使用 O(n) 帮助？ :)

【问题讨论】：

如果你有求和的序列直到原始序列中的那个点，那么你能解决它吗？例如：{1,2,3,4,-3} 作为原始序列将产生：{1,3,6,10,7}。您可以在 O(n) 时间内从原始序列到求和序列。现在从求和的一个到 O(n) 中最大序列的长度也是如此..
如果有多个这样的子数组，输出是什么？

标签： algorithm math time-complexity

【解决方案1】：

我认为你可以这样迭代：

MaxSum = 0;
CurrentSum = 0;
MaxLen = 0;
CurrentLen = 0;

Index = GetFirstPositiveValue(); 
// This function returns the first Index where Array[Index] > 0
// O(n) 

while (Index < Array.Length()) {
    // general loop to parse the whole array
    while (Array[Index] > 0 && Index < Array.Length()) {
        CurrentSum += Array[Index];
        CurrentLen++;
        Index++
    }
    // We computed a sum of positive integer, we store the values 
    // if it is higher than the current max
    if (CurrentSum > MaxSum) {
        MaxSum = CurrentSum;
        MaxLen = CurrentLen;
    }
    // We reset the current values only if we get to a negative sum
    while (Array[Index] < 0 && Index < Array.Length()) {
        CurrentSum += Array[Index];
        CurrentLen++;
        Index++;
    }
    //We encountered a positive value. We check if we need to reset the current sum
    if (CurrentSum < 0) {
        CurrentSum = 0;
        CurrentLen = 0;
    }
}
// At this point, MaxLen is what you want, and we only went through 
// the array once in the while loop.

从第一个正面元素开始。如果每个元素都是负数，那么就选择最高的，问题就结束了，这是一个1元素序列。

只要我们有正值，我们就会继续求和，所以我们有一个当前的最大值。当我们有负数时，我们检查当前最大值是否高于存储的最大值。如果是这样，我们将存储的最大值和序列长度替换为新值。

现在，我们对负数求和。当我们发现另一个阳性时，我们必须检查一下：

如果当前总和是正数，那么我们仍然可以使用这个序列获得最大总和。如果它是负数，那么我们可以丢弃当前的总和，因为最大总和不会包含它：

在{1,-2,3,4}中，3+4大于1-2+3+4

只要我们没有遍历整个数组，我们就会重新开始这个过程。只有当我们有一个产生负和的子序列时，我们才会重置序列，并且只有当我们有更大的值时才会存储最大值。

我认为这按预期工作，我们只遍历数组一两次。所以它是 O(n)

我希望这是可以理解的，我很难说清楚我的想法。使用 {1,2,3,-4,5} / {1,2,3,-50,5} / {1,2,3,-50,4,5} 等小示例执行此算法可能会有所帮助如果我不够清楚:)

【讨论】：

【解决方案2】：

如果您知道长度为 N 的数组末尾的子数组的最大和，则可以简单地计算长度为 N+1 之一的子数组：

[..., X]       has max subsum S
[..., X, Y]    has max subsum max(0, S + Y)

因为您包含 Y 或者您有一个空子数组（因为子数组位于列表的末尾）。

您可以通过从一个空列表构建它来找到以 any 位置结尾的子数组的所有最大总和：

[]             S = 0
[1]            S = 1
[1, 2]         S = 3
[1, 2, -4]     S = 0
[1, 2, -4, 5]  S = 5

然后您只需要跟踪最大值及其宽度。这是一些演示该算法的 Python 代码。

def ranges(values):
    width = cum_sum = 0

    for value in values:
        cum_sum += value
        width += 1

        if cum_sum < 0:
            width = cum_sum = 0

        yield (cum_sum, width)

total, width = max(ranges([-2, 1, 2, 3, -8, 4, -3]))

total, width
#>>> (6, 3)

【讨论】：