使用有限元法求解二维扩散方程（热方程）但爆炸

Question

我尝试用有限元求解二维扩散方程：

numx = 101;   % number of grid points in x
numy = 101; 
numt = 1001;  % number of time steps to be iterated over 
dx = 1/(numx - 1);
dy = 1/(numy - 1);
dt = 1/(10*(numt - 1));


x = 0:dx:1;   %vector of x values, to be used for plotting
y = 0:dy:1;   %vector of y values, to be used for plotting

P = zeros(numx,numy,numt);   %initialize everything to zero

% Initial Condition
mu = 0.5;
sigma = 0.05;
for i=2:numx-1
    for j=2:numy-1
        P(i,j,1) = exp(-( (x(i)-mu)^2/(2*sigma^2) + (y(j)-mu)^2/(2*sigma^2))/(2*sigma^2)) / sqrt(2*pi*sigma^2);           
 end

 end

% Diffusion Equation
for k=1:numt
   for i=2:numx-1
       for j=2:numy-1
           P(i,j,k+1) = P(i,j,k) + .5*(dt/dx^2)*( P(i+1,j,k) - 2*P(i,j,k) + P(i-1,j,k) ) + .5*(dt/dy^2)*( P(i,j+1,k) - 2*P(i,j,k) + P(i,j-1,k) ); 
       end
   end
end

figure(1)
surf(P(:,:,30))

P的初始条件是高斯分布的。

但是，当增加 k（我的代码中的 k=30）时，P 会爆炸。但是，P 应该减小，因为它是扩散方程的解。

我不知道 P(i,j,k+1) 中的问题，如何解决这个问题？

谢谢

Answer 1

P(1, :, :)、P(101, :, :)、P(:, 1, :) 和 P(:, 101 , :) 的值在您的代码中始终为零。这意味着 P 在二维框的边界处始终为零。它不遵守扩散定律。

首先，您应该给出边界的初始条件。

% Initial Condition
mu = 0.5;
sigma = 0.05;
for i=1:numx
    for j=1:numy
        P(i,j,1) = exp(-( (x(i)-mu)^2/(2*sigma^2) + (y(j)-mu)^2/(2*sigma^2))/(2*sigma^2)) / sqrt(2*pi*sigma^2);           
     end
 end

然后计算扩散过程中边界处的P值。

% Diffusion Equation
for k=1:numt
   for i=2:numx-1
       for j=2:numy-1
           P(i,j,k+1) = P(i,j,k) + .5*(dt/dx^2)*( P(i+1,j,k) - 2*P(i,j,k) + P(i-1,j,k) ) + .5*(dt/dy^2)*( P(i,j+1,k) - 2*P(i,j,k) + P(i,j-1,k) ); 
       end
   end

   % calculate the value of P at the boudary
   P(1, :, k + 1) = 2 * P(2, :, k + 1) - P(3, : , K + 1);
   P(numx, :, k + 1) = 2 * P(numx - 1, :, k + 1) - P(numx - 2, : , K + 1);
   P(:, 1, k + 1) = 2 * P(:, 2, k + 1) - P(:, 3 , K + 1);
   P(:, numy, k + 1) = 2 * P(:, numy - 1, k + 1) - P(:, numy - 2 , K + 1);
end