“&”如何用于数字比较？答案

【问题标题】：How does "&" work for numeric comparison?“&”如何用于数字比较？
【发布时间】：2014-12-20 02:07:19
【问题描述】：

def power_of_two?(n)
  n & (n-1) == 0
end

此方法检查给定数字 n 是否为 2 的幂。这是如何运作的？看不懂&的用法

【问题讨论】：

我认为这个函数可能会错误地回答 0 是 2 的幂
你不明白“&”是做什么的，或者你不明白为什么它应该返回n是否是2的幂？
如果 n 是 2 的幂，则此函数确实返回 True。
@CarySwoveland 我没有安装 ruby。现在我可以说它确实返回 0 是 2 的幂。0 & -1 => 0
这可能是因为 -1 的二进制恭维表示全为 1，而 0 则全为零。所以我们知道：如果 n 是 2 的幂，则函数返回 True。我们知道：如果 n 不是 2 的幂（因为 0 不是 2 的（有限）幂），则函数返回 true。

标签： ruby

【解决方案1】：

& 称为按位与运算符。

The AND operator 逐位遍历提供的两个整数的二进制表示。如果两个整数中相同位置的位均为 1，则生成的整数将将该位设置为 1。如果不是，则该位将设置为 0：

(a = 18).to_s(2)     #=> "10010"
(b = 20).to_s(2)     #=> "10100"
(a & b).to_s(2)      #=> "10000"

如果数字已经是 2 的幂，则减一将导致二进制数仅设置低位。使用& 将无济于事。

以 8 为例：0100 & (0100 - 1) --> (0100 & 0011) --> 0000

要了解它，请关注“How does this bitwise operation check for a power of 2?”。

IRB 示例：

>> 4.to_s(2)
=> "100"
>> 3.to_s(2)
=> "11"
>> 4 & 3
=> 0
>>

这就是为什么你可以说4 是 2 的幂 数。

【讨论】：

【解决方案2】：

“&”是按位“AND”（参见http://calleerlandsson.com/2014/02/06/rubys-bitwise-operators/）运算符。它比较两个数字，如下例所示：

假设 n=4（这是 2 的幂）。这意味着n-1=3。在二进制中（我在“1101011101”之类的引号中用 1 和 0 写，所以我们可以看到这些位）我们有 n="100" 和 n-1="011"。

这两个数字的按位与是 0="000"（以下，每列只包含一个 1，从不包含两个 1）

100          <-- this is n, n=4
011          <-- this is n-1, n-1=3
---
000          <-- this is n & (n-1)

作为另一个例子，现在假设 n=14（不是 2 的幂），因此 n-1=13。在这种情况下 n="1110" 和 n-1="1101"，我们有 n & (n-1) = 12

1110         <-- this is n, n=14
1101         <-- this is n-1, n-1=13
----
1100         <-- this is n & (n-1)

在上面的例子中，n 和 n-1 的前两列都包含一个 1，因此这些列的 AND 为 1。

好的，让我们考虑最后一个例子，其中 n 再次是 2 的幂（如果还不是为什么“poweroftwo？”按原样写成，这应该非常清楚。假设 n=16（这是一个幂）两个）。

假设 n=16（这是 2 的幂）。这意味着 n-1=15 所以我们有 n="10000" 和 n-1="01111"。

这两个数字的按位与是 0="00000"（在下面，每列只包含一个 1，从不包含两个 1）

10000          <-- this is n, n=16
01111          <-- this is n-1, n-1=15
---
00000          <-- this is n & (n-1)

警告：在 n=0 的特殊情况下，函数“power_of_two?”即使 n=0 不是 2 的幂，也会返回 True。这是因为 0 表示为一个全为零的位串，任何与零相与的都是零。

所以，一般来说，函数“power_of_two？”当且仅当 n 是 2 的幂或 n 为零时才会返回 True。上面的例子只是说明了这个事实，并没有证明这一点……但是，事实就是如此。

【讨论】：

检查问题下的tag。这是ruby
啊，好吧，原来没评论过

【解决方案3】：

我们希望证明这一点

n & (n-1) == 0

当且仅当n 是2 的幂。

我们可以假设n 是一个大于1 的整数。（其实我会用这个假设来得到一个收缩。）

如果n 是2 的幂，则其二进制表示在位偏移处具有1

p = log2(n)

和0s 在所有低位位置j、j < p。此外，由于(n-1)+1 = n、n-1 在所有位偏移j、0 <= j < p 处都必须有1。因此，

n & (n-1) == 0

还有待证明如果n不是2的幂并且

n & m == 0

然后m != n-1。我假设m = n-1 会得到一个收缩，从而完成证明。

n 的最高有效位当然是 1。由于n 不是 2 的幂，n 至少有一个其他位等于 1。在这些 1 位中，考虑最高有效位位置j。

由于n & (n-1) == 0，n-1 必须在其二进制表示的j 位置有一个0。当我们将1 添加到n-1 时，为了使其等于n，它必须在偏移量j 处有一个1，这意味着n-1 在所有位位置都必须有1 987654360@。此外，(n-1)+1 在添加1 之后的所有位位置j 都为零。但是因为n = (n-1)+1，那只有在j == 0 时才成立，因为n & (n-1) == 0。因此，要做到这一点，n 的最高有效位和最低有效位大多数都等于1，并且所有其他位必须为零。然而，由于n = (n-1)+1，这意味着n-1==0，因此n == 1，需要矛盾。

（哇！必须有一个更简单的证明！）

【讨论】：

又是很好的算法方法。我需要向你学习这部分计算机科学。

【解决方案4】：

从二进制数减一的过程是，从最低有效位开始：

如果该位是0 - 将其转换为1 并继续到下一个有效位
如果位是 1 - 将其转换为 0 并停止。

这意味着如果一个数字中有多个 1 数字并非所有数字都会被切换（因为您在获得最高有效位之前就停止了）。

假设我们的号码n 中的第一个 1 位于i 的位置。如果我们将数字n 右移，我们将得到在减一时没有变化的数字部分，我们称之为m。如果我们移动数字n-1，我们应该得到相同的数字m，因为它是当我们减少一个时没有改变的部分：

n >> i == m
(n - 1) >> i == m

将两个数字右移相同的数量也会将&ing它们的结果右移相同的数量：

(n >> i) & ((n - 1) >> i) == 0 >> i

但是0 >> i是0，不管i，所以：

(n >> i) & ((n - 1) >> i) == 0

让我们把m放在我们知道的地方：

m & m == 0

但我们也知道：

m & m == m # for any m

所以m == 0！

因此n & (n - 1) == 0当且仅当在数字n中最多有一个1位。

唯一最多有一个1 位的数字是2 的所有（非负）幂（前导1 和后面的非负数零），以及数字@ 987654350@.

QED

【讨论】：

这看起来很有希望，但不清楚为什么“n & (n-1) == 0 iff 只有一个1-bit in the number n”遵循“并非所有数字都会切换”。
@CarySwoveland - 添加了为什么不是所有数字切换到单个 1 数字的证据
不错，@Uri。我们的证明包含相似之处并不奇怪，但您的证明更直接。但是，我认为它可以简化。如果您从假设n&(n-1)==0 开始，那么您已经证明，当您将1 添加到n-1 以得到m 时，在位置i，n 有一个1 和m有一个零，意味着n != n（因为m=n），需要矛盾。因此，n&(n-1) != 0 当n 不是2 的幂。 n 和 m 在位置 i 中具有相同的位也是正确的，但我认为没有必要。

【解决方案5】：

在 2 的幂的情况下，它采用二进制形式，即单个位值 1 后跟零。任何这样的值在递减时都将采用 1 的运行形式，因此在使用按位时，由于它必然小于前者，它会将其屏蔽掉。例如

0b1000 & (0b1000 - 1) = 0b1000 & 0b111 = 0

所以，任何 (num - 1) 都可能变成，这里的关键是触及 num 的最高位，通过减少它，我们将其清除。

另一方面，如果一个数不是 2 的幂，则结果必须非零。

背后的原因是操作总是可以在不触及最高位的情况下进行，因为总会有一个非零位在路上，所以至少最高位会到达掩码并显示结果。

【讨论】：