我正在研究/实现Perlin Noise 和Improved Perlin Noise 的一个版本。 Perlin 在他的论文中说他替换了 smoothstep 函数
3t^2 - 2t^3
他曾经用函数在网格单元的角落插入 8 个线性函数：
6t^5 - 15t^4 + 10t^3
因为smoothstep函数的二阶导数是不连续的。他说（这在他展示的图像中清晰可见），由于使用此函数的结果，法线看起来像这样，这会导致一些视觉伪影。现在我明白了什么是不连续函数。我也了解如何使用 Perlin 噪声函数的偏导数在 Perlin 噪声函数中计算法线，但我不明白为什么二阶导数不连续这一事实会导致法线出现问题。使用噪声函数的一阶导数计算法线，而不是二阶导数。那么二阶导数不连续的事实怎么会对法线产生这样的影响呢？
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【问题讨论】：
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那么二阶导数不连续的事实怎么可能 对法线有这样的影响吗？
首先，请记住二阶导数是法线的一阶导数。问题不在于计算法线，而在于法线在空间中进展的平滑程度。这将直接影响光照，并证明底层函数的平滑度，一般来说，函数越是可连续推导，感觉就越平滑。
虽然 Perlin 的前一种方法会导致连续法线和连续着色，但您仍然可以分辨出边界在哪里，因为着色没有连续导数，而我们的感知旨在感知其本来面目：连续曲面不是那么在那个边界上是平滑的
看看这四个函数（从上到下）：
无限连续导数
half TriangleWave (half x) {
x = 2 * frac(x/2);
return min(x, 2 - x);
}
half SShape (half x) {
x = saturate(x);
return x * x * (3 - 2 * x);
}
fixed4 frag (v2f f) : SV_Target {
// Bottom to top coordinate system
half x = 3 * f.tex.x;
half y = f.tex.y;
if (y > 0.75)
return frac(x);
if (y > 0.5)
return TriangleWave(x);
if (y > 0.25)
return SShape(TriangleWave(x));
return 0.5 - 0.5 * cos(x*3.141592);
}
最后一个是最流畅的，但你几乎无法从第三个中分辨出来。 但是第二个虽然是连续映射，但仍然让您感觉到那里有一个边界。
由于法线对光照的直接影响（之前的着色器可以很容易地作为光照计算），您基本上是在第二个和第三个选项之间进行选择。这就是为什么你通常希望法线本身是连续可微的，而不是满足于连续性
【讨论】：