检测矩阵中的精确块（二维数组）

Question

我正在寻找一种有效的算法来识别具有许多 0 条目的矩阵中的块结构。

例如 6×7 矩阵

0.0975    0.9575         0         0         0         0         0
0.2785    0.9649         0         0         0         0         0
0.5469    0.1576         0         0         0         0         0
     0         0    0.9706    0.9572         0         0         0
     0         0         0         0    0.8235    0.3171    0.0344
     0         0         0         0    0.6948    0.9502    0.4387

由三个大小分别为 3×2、1×2 和 2×3 的块组成。

块由一组行和一组列定义。块结构的特点是所有不属于块的条目都为 0。但是，块中也可能存在精确 0 条目。

一个简单的解决方案是始终将整个矩阵声明为一个块；因此，寻求一种解决方案，使块内条目的数量尽可能少。

为了让事情变得更难（或者更容易？），块不必是连续的。上述矩阵的置换版本，

     0    0.9572         0         0         0         0    0.9706
     0         0    0.0975         0         0    0.9575         0
0.4387         0         0    0.9502    0.6948         0         0
0.0344         0         0    0.3171    0.8235         0         0
     0         0    0.2785         0         0    0.9649         0
     0         0    0.5469         0         0    0.1576         0

因此也有三块结构，可以描述为：

• 一个包含第 3、4 行和第 1、4、5 列的块，
• 包含第 1 行和第 2、7 列的块，
• 包含第 2、5、6 行和第 3、6 列的块。

我想到的解决方案是：

• 使用基于连接权重的集群算法。然而，矩阵不必是对称的甚至是正方形的。特定行和特定列之间没有对应关系。

• 最初定义一个块包含一个（非 0）条目（由其行和列描述），在其行和列中查找非 0 条目并添加相应的列和行，这样迭代地增长，直到没有添加任何行或列；标识一个块。从块中不包含的条目开始执行相同的操作。重复直到没有非 0 条目留下。在这里我怀疑这个算法是否能有效地扩展到一个有很多块的大矩阵。

我正在寻找一种算法，或其他关于算法的想法，而不是实现。但是，一个实现例如欢迎使用 Matlab 或 Python。

Answer 1

这是一般表达式分析中的标准场景。

这种算法称为双聚类（因为它们同时对行和列进行聚类）。一个早期的方法归功于Cheng和Church。