最短路径线性规划

Question

我被困在第 4 页https://courses.engr.illinois.edu/cs498dl1/sp2015/notes/26-lp.pdf 处最大化 d_t。 我绝对不能遵循作者的论点

这些松弛约束意味着在任何可行的解决方案中，d_v 至多是从 s 到 v 的最短路径距离。因此，有点 与直觉相反，我们正确地最大化了目标函数 计算最短路径！

我们正在寻找最短路径，但为什么要寻找 max d_t？

Answer 1

想象两个直接连接的顶点s 和t 之间没有任何其他边或顶点的最短路径的简单情况。 LP 归结为：

maximize   d_t
subject to d_s = 0
           d_t − d_s ≤ l_st for every edge s -> t

最大化d_t 的唯一方法是将其设置为从s 到t 的最短路径——在这种情况下是两者之间的边缘。这是因为第二个约束d_t ≤ l_st 禁止任何更大的值，即从s 到t 的任何更长的路径。

现在，这个想法可以转移到s 和t 不是相邻顶点的一般情况：将d 变量视为到t 的所有相邻顶点的最短路径。然后与d_t 相关的约束确定必须选择这些边中的哪一个来定义整体最短路径。它将满足相等性，而 d_t 的任何更高值都将违反这些约束中的至少一个。